Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian, thuộc chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về chủ đề này.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các dạng phương trình đường thẳng, cách xác định đường thẳng trong không gian, và các ứng dụng thực tế của lý thuyết này.
1. Phương trình đường thẳng trong không gian Vecto chỉ phương của đường thẳng
1. Phương trình đường thẳng trong không gian
Vecto chỉ phương của đường thẳng
| Vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng \(d\) nếu giá của \(\overrightarrow a \) song song hoặc trùng với \(d\). |
Nếu \(\overrightarrow a \) là vecto chỉ phương của \(d\) thì \(k\overrightarrow a \) \((k \ne 0)\) cũng là vecto chỉ phương của d.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình chóp O.ABC có A(2;0;0), B(0;4;0) và C(0;0;7).
a) Tìm tọa độ một vecto chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, AC.
b) Vecto \(\overrightarrow v = ( - 1;2;0)\) có là vecto chỉ phương của đường thẳng AB không?
Giải:
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 2;4;0)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng AB.
\(\overrightarrow {AC} = ( - 2;0;7)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng AC.
b) Vì \(\overrightarrow v = ( - 1;2;0) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow v \) là một vecto chỉ phương của đường thẳng AB.
Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\). Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in R\)). |
Mỗi giá trị của tham số t xác định duy nhất một điểm A trên \(\Delta \) và ngược lại.
Ví dụ: Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + 6t}\\{y = 11 + 2t}\\{z = 4t}\end{array}} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
a) Tìm hai vecto chỉ phương của d.
b) Tìm các điểm trên d ứng với t lần lượt bằng 0; 2; -3.
Giải:
a) Từ phương trình tham số, ta có \(\overrightarrow a = (6;2;4)\) là một vecto chỉ phương của d.
Chọn \(\overrightarrow b = \frac{1}{2}\overrightarrow a = (3;1;2)\), ta có \(\overrightarrow b \) cũng là một vecto chỉ phương của d.
b) Thay t = 0 vào phương trình tham số của d ta được
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + 6.0}\\{y = 11 + 2.0}\\{z = 4.0}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{y = 11}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)
Vậy A(-2;11;0).
Tương tự, với t = 2 thì B(10;15;8), với t = 3 thì C(-20;5;-12).
Phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \). |
Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm \({M_0}(1;2;3)\) và nhận \(\overrightarrow a = (4;5; - 7)\) làm vecto chỉ phương.
Giải: Đường thẳng d có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}\).
Phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt \({A_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) và \({A_2}({x_2};{y_2};{z_2})\). Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = ({x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1};{z_2} - {z_1})\) - Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + ({x_2} - {x_1})t\\y = {y_1} + ({y_2} - {y_1})t\\z = {z_1} + ({z_2} - {z_1})t\end{array} \right.\) \((t \in R)\). - Trong trường hợp \({x_1} \ne {x_2},{y_1} \ne {y_2},{z_1} \ne {z_2}\) thì đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}\). |
Ví dụ: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB, biết A(1;1;5) và B(3;5;8).
Giải: Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = (2;4;3)\) nên có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 5 + 3t}\end{array}} \right.\) và phương trình chính tắc \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 5}}{3}\).
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d,d'\) có vecto chỉ phương tương ứng là \(\overrightarrow a ({x_1};{y_1};{z_1})\), \(\overrightarrow {a'} ({x_2};{y_2};{z_2})\). Gọi \(M({x_0};{y_0};{z_0}) \in d\). Khi đó + \(d//d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a = k\overrightarrow {a'} ,k \in \mathbb{R}\\M \notin d'\end{array} \right.\) + \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a = k\overrightarrow {a'} ,k \in \mathbb{R}\\M \in d'\end{array} \right.\) |
Ví dụ: Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:
a) d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t'}\\{y = 5 + 2t'}\\{z = 1 + 4t'}\end{array}} \right.\)
b) d: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và d: \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 3}}{6}\)
Giải:
a) Đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2;2;4) = 2\overrightarrow a \).
Thay tọa độ điểm M vào phương trình của d’, ta được
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = 2 + 2t'}\\{2 = 5 + 2t'}\\{5 = 1 + 4t'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t' = - \frac{1}{2}}\\{t' = - \frac{3}{2}}\\{t' = 0}\end{array}} \right.\) (vô nghiệm).
Suy ra M không thuộc d’. Vậy d//d’.
b) Đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2;2;4) = 2\overrightarrow a \).
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (3;3;6) = 3\overrightarrow a \).
Thay tọa độ điểm M vào phương trình của d’, ta được
\(\frac{{1 - 2}}{3} = \frac{{2 - 3}}{3} = \frac{{1 - 3}}{6}\).
Phương trình nghiệm đúng, suy ra M thuộc d’. Vậy d\( \equiv \)d’.
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d,d'\) có vecto chỉ phương tương ứng là \(\overrightarrow a ({x_1};{y_1};{z_1})\), \(\overrightarrow {a'} ({x_2};{y_2};{z_2})\). Gọi \(M({x_0};{y_0};{z_0}) \in d\), \(M'({x_0}';{y_0}';{z_0}') \in d'\). Khi đó + \(d,d'\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {MM'} = 0\). + \(d,d'\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {MM'} \ne 0\). |
Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’ trong mỗi trường hợp sau:
a) d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t'}\\{y = 2 + 5t'}\\{z = 3 + t'}\end{array}} \right.\)
b) d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\) và d’ \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 9}}{6}\)
Giải:
a) d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = (1;1;1)\) và \(\overrightarrow {a'} = (2;5;1)\).
Ta có \(\frac{1}{2} \ne \frac{1}{5}\), suy ra \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) không cùng phương. Vậy d và d’ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1 + 2t'}\\{t + 1 = 2 + 5t'}\\{t + 2 = 3 + t'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t - 2t' = 1}\\{t - 5t' = 1}\\{t - t' = 1}\end{array}} \right.\)
Giải hệ phương trình được t = 1, t’ = 0.
Vậy d cắt d’ tại điểm M(1;2;3).
b) d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = (1;1;1)\) và \(\overrightarrow {a'} = (2;5;6)\).
Ta có \(\frac{1}{2} \ne \frac{1}{5}\), suy ra \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) không cùng phương. Vậy d và d’ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
d’ có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t'}\\{y = 2 + 5t'}\\{z = 9 + 6t'}\end{array}} \right.\)
Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + t = 1 + 2t'}\\{2 + t = 2 + 5t'}\\{3 + t = 9 + 6t'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t - 2t' = 0}\\{t - 5t' = 0}\\{t - 6t' = 6}\end{array}} \right.\)
Giải hệ trên không tìm được t, t’ thỏa mãn.
Vậy d và d’ chéo nhau.
Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ({a_1};{b_1};{c_1})\), \(\overrightarrow {{u_2}} ({a_2};{b_2};{c_2})\). Khi đó: \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\) |
Ví dụ: Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:
a) d: \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t}\\{y = 7 + t}\\{z = 9 - 8t}\end{array}} \right.\)
b) d: \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}\) và d’ \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 9}}{1}\)
Giải:
a) d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = (3;5;1)\) và \(\overrightarrow {a'} = (1;1; - 8)\).
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} = 3 + 5 - 8 = 0\). Vậy d và d’ vuông góc với nhau.
b) d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = (3;5;1)\) và \(\overrightarrow {a'} = (2;1;1)\).
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} = 6 + 5 + 1 \ne 0\). Vậy và d’ không vuông góc với nhau.
3. Góc
Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} ({a_1};{b_1};{c_1})\), \(\overrightarrow {{u_2}} ({a_2};{b_2};{c_2})\). Khi đó, ta có: \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\) |
Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng
d: \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).
Giải: d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = (1;2;2)\) và \(\overrightarrow {a'} = ( - 2; - 2;1)\).
Ta có \(\cos (d,d') = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Suy ra \((d,d') \approx {63^o}36'\).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u ({a_1};{b_1};{c_1})\) và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n ({a_2};{b_2};{c_2})\). Gọi \((\Delta ,(P))\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Khi đó, ta có: \(\sin (\Delta ,(P)) = \left| {\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow n )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\) |
Nếu đường thẳng có vecto chỉ phương cùng phương với vecto pháp tuyến của mặt phẳng thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Ví dụ: Tính góc giữa đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\) và mặt phẳng (P): \(x + z + 24 = 0\).
Giải: Đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2;2;1)\). Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;0;1)\).
Ta có \(\sin (d,(P)) = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra \((d,(P)) = {45^o}\).
Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó, kí hiệu là \(\left( {({P_1}),({P_2})} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} ({A_1};{B_1};{C_1})\), \(\overrightarrow {{n_2}} ({A_2};{B_2};{C_2})\). Khi đó, ta có: \(\cos \left( {({P_1}),({P_2})} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\) |
Nếu hai mặt phẳng có hai vecto pháp tuyến vuông góc với nhau thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Ví dụ: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): \(x + y - 2z + 9 = 0\) và (P’): \(3x - 5y + z + 2024 = 0\).
Giải: (P) và (P’) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow n = (1;1; - 2)\), \(\overrightarrow {n'} = (3; - 5;1)\).
Ta có \(\cos \left( {(P),(P')} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.( - 5) + ( - 2).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{( - 5)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}\).
Suy ra \(\left( {(P),(P')} \right) \approx {73^o}59'\).
Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng là một công cụ quan trọng để mô tả vị trí của một đường thẳng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về phương trình đường thẳng trong không gian, theo chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo.
Có ba dạng phương trình đường thẳng phổ biến trong không gian:
Vectơ chỉ phương là một vectơ song song với đường thẳng. Để xác định vectơ chỉ phương, ta có thể sử dụng:
Cho hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là a₁ và a₂:
Khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến đường thẳng Δ có phương trình tham số { x = x₁ + at; y = y₁ + bt; z = z₁ + ct } được tính theo công thức:
d = |[a x MM₀]| / |a|, trong đó a là vectơ chỉ phương của Δ, MM₀ là vectơ từ M đến một điểm M₀ thuộc Δ, và | | biểu thị độ dài của vectơ.
Xét đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương a và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n:
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương a = (2, -1, 1).
Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là: { x = 1 + 2t; y = 2 - t; z = 3 + t }.
Ví dụ 2: Tìm khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến đường thẳng có phương trình tham số { x = 1 + t; y = 2 + t; z = 3 + t }.
Giải: ...
Phương trình đường thẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Hi vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán liên quan.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
