Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trong chương trình Toán 12 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích vật tròn. Đây là một phần quan trọng của chương trình, giúp học sinh kết nối lý thuyết với thực tế và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề.

I. Tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:

S = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

Nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b] thì |f(x)| = f(x). Nếu f(x) < 0 trên [a, b] thì |f(x)| = -f(x).

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x², trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Giải:

Vì x² ≥ 0 trên đoạn [-1, 2] nên diện tích hình phẳng là:

S = ∫_-1² x² dx = [x³/3]_-1² = (8/3) - (-1/3) = 3

II. Tính thể tích vật tròn

Có hai phương pháp chính để tính thể tích vật tròn:

1. Phương pháp đĩa tròn: Sử dụng khi vật tròn có tiết diện vuông góc với trục quay là hình tròn. Công thức: V = π ∫_a^b [f(x)]² dx
2. Phương pháp vỏ trụ: Sử dụng khi vật tròn có tiết diện vuông góc với trục quay là hình chữ nhật. Công thức: V = 2π ∫_a^b x f(x) dx

Trong đó:

Ví dụ 2: Tính thể tích vật tròn tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √x, trục hoành và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.

Giải:

Sử dụng phương pháp đĩa tròn, ta có:

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = π (16/2) = 8π

III. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π.
• Bài 2: Tính thể tích vật tròn tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 quanh trục Ox.

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân là một bài học quan trọng, đòi hỏi các em phải nắm vững các công thức và phương pháp tính toán. Hy vọng với những giải thích chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về bài học này và tự tin giải các bài tập liên quan.

Chúc các em học tập tốt!