Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 70, 71, 72 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo. toan9.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và nhanh chóng.
Bài viết này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Khoảng tứ phân vị
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 73 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực A và B về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của từng mẫu số liệu ghép nhóm ứng với mỗi khu vực A và B.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực nào có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn?
Phương pháp giải:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
b) Khoảng tứ phân vị càng bé thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị
Lời giải chi tiết:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: 34 – 19 = 15(tuổi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là: 31 – 19 = 12(tuổi)
Cỡ mẫu \(n = 100\)
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực A được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{10}} \in [19;22)\); \({x_{11}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{37}} \in [22;25)\);\({x_{38}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{68}} \in [25;28)\);\({x_{69}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{93}} \in [28;31)\);\({x_{94}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}} \in [31;34)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}}) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 10}}{{27}}(25 - 22) = \frac{{71}}{3}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{75}} + {x_{76}}) \in [28;31)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 28 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (10 + 27 + 31)}}{{25}}(31 - 28) = \frac{{721}}{{25}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{388}}{{75}}\)
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực B được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{47}} \in [19;22)\); \({y_{48}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{87}} \in [22;25)\);\({y_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{98}} \in [25;30)\);\({y_{99}};{y_{100}} \in [28;31)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_{25}} + {y_{26}}) \in [19;22)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 19 + \frac{{\frac{{100}}{4}}}{{47}}(22 - 19) = \frac{{968}}{{47}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_{75}} + {y_{76}}) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 22 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 47}}{{40}}(25 - 22) = \frac{{241}}{{10}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{1647}}{{470}}\)
b) Có \({\Delta _Q}' < {\Delta _Q}\) nên phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 73 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Ví dụ 4 sau khi đã loại bỏ các giá trị ngoại lệ. Em có nhận xét gì về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị vừa tìm được và khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị ban đầu?
Hằng ngày ông Thắng đều đi xe buýt từ nhà đến cơ quan. Dưới đây là bảng thống kê thời gian của 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan.
b) Hãy so sánh độ phân tán của nửa giữa hai mẫu số liệu chiều cao của các học sinh nữ lớp 12C và 12D ở Thực hành 1.
Phương pháp giải:
a) Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5{\Delta _Q}\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
b) Tìm khoảng tứ phân vị của 2 nhóm số liệu rồi so sánh
Lời giải chi tiết:
a) Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm.
Khoảng biến thiên R = 33 – 15 = 18 (phút).
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{22}} \in [15;18)\); \({x_{23}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{60}} \in [18;21)\); \({x_{61}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{87}} \in [21;24)\); \({x_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{95}} \in [24;27)\);\({x_{96}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{99}} \in [27;30)\);\({x_{100}} \in [30;33)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}}) \in [18;21)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{693}}{{38}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{75}} + {x_{76}}) \in [21;24)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (22 + 38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{68}}{3}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{505}}{{114}}\).
Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5{\Delta _Q}\).
Hay \(x > \frac{{68}}{3} + 1,5.\frac{{505}}{{114}} = 29,31\) hoặc \(x < \frac{{693}}{{38}} - 1,5.\frac{{505}}{{114}} = 11,59\).
Do đó, chỉ có đúng 1 lần ông Thắng đi hết 32 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ: 30 – 15 = 15 (phút).
Gọi \({z_1};{\rm{ }}{z_2}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{99}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 99 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm, sau khi đã loại bỏ giá trị ngoại lệ.
Ta có: \({z_1};{\rm{ }}{z_2}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{22}} \in [15;18)\); \({z_{23}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{60}} \in [18;21); {z_{61}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{87}} \in [21;24); {z_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{95}} \in [24;27); {z_{95}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{99}} \in [27;30) \).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}'' = 18 + \frac{{\frac{{99}}{4}}-22}{{38}}(21 - 18) = \frac{{2769}}{{152}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}'' = 21 + \frac{{\frac{{3.99}}{4} - (22+38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{271}}{{12}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}'' = {Q_3}'' - {Q_1}'' = \frac{{1991}}{{456}}\).
Nhận xét: Sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên mới giảm mạnh còn khoảng tứ phân vị mới không bị ảnh hưởng nhiều.
b) Cỡ mẫu \(n = 25\).
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2} \in [155;160)\); \({x_3}; \ldots ;{\rm{ }}{x_9} \in [160;165)\);\({x_{10}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{21}} \in [165;170)\);\({x_{22}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{24}} \in [170;175)\);\({x_{25}} \in [180;185)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_6} + {x_7}) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 2}}{7}(165 - 160) = \frac{{4565}}{{28}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (2 + 7)}}{{12}}(170 - 165) = \frac{{2705}}{{16}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{675}}{{112}}\).
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_5} \in [155;160)\); \({y_6}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{14}} \in [160;165)\);\({y_{15}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{22}} \in [165;170)\);\({y_{23}};{\rm{ }}{{\rm{y}}_{24}} \in [170;175)\);\({y_{25}} \in [175;180)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_6} + {y_7}) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 5}}{9}(165 - 160) = \frac{{5785}}{{36}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (5 + 9)}}{8}(170 - 165) = \frac{{5375}}{{32}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{2095}}{{288}}\).
Có \({\Delta _Q}' > {\Delta _Q}\) nên chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D có độ phân tán lơn hơn lớp 12C.
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 70 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2022 của một số hộ gia đình trong một địa phương được ghi lại ở bảng sau:
a) Hãy tìm các tứ phân vị \({Q_1}\) và \({Q_3}\).
b) Một doanh nghiệp địa phương muốn hướng dịch vụ của mình đến các gia đình có mức thu nhập ở tầm trung, tức là 50% các hộ gia đình có mức thu nhập ở chính giữa so với tất cả các hộ gia đình của địa phương. Hỏi doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng nào?
Phương pháp giải:
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Cỡ mẫu n = 150
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{150}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thu nhập của 150 hộ gia đình được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{24}} \in [200;250)\); \({x_{25}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{86}} \in [250;300)\); \({x_{87}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{120}} \in [300;350)\); \({x_{121}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{141}} \in [350;400)\); \({x_{142}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{150}} \in [400;450)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{38}} \in [250;300)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 250 + \frac{{\frac{{150}}{4} - 24}}{{62}}(300 - 250) = \frac{{16175}}{{62}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{113}} \in [300;350)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 300 + \frac{{\frac{{3.150}}{4} - (24 + 62)}}{{34}}(350 - 300) = \frac{{11525}}{{34}}\)
b) Doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng \([{Q_1};{Q_3}) = [260,89;338,97)\)(triệu đồng)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 71 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hãy so sánh khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình và bác An trong Khởi động.
Phương pháp giải:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Lời giải chi tiết:
Cỡ mẫu \(n = 30\);
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{25}} \in [20;25)\); \({x_{26}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{30}} \in [25;30)\);
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_8} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{43}}{2}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{23}} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{49}}{2}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3\)
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_5} \in [15;20)\); \({y_6}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{17}} \in [20;25)\);\({y_{18}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{25}} \in [25;30)\);\({y_{26}};{y_{27}};{\rm{ }}{y_{28}} \in [30;35)\);\({y_{29}};{y_{30}} \in [35;40)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({y_8} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}-5}{{12}}(25 - 20) = \frac{{505}}{24}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{23}} \in [25;30)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 25 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - (5 + 12)}}{8}(30 - 25) = \frac{{455}}{{16}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{355}}{{48}}\)
Vì \(\frac{{355}}{{48}}>3\) nên khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 70 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2022 của một số hộ gia đình trong một địa phương được ghi lại ở bảng sau:
a) Hãy tìm các tứ phân vị \({Q_1}\) và \({Q_3}\).
b) Một doanh nghiệp địa phương muốn hướng dịch vụ của mình đến các gia đình có mức thu nhập ở tầm trung, tức là 50% các hộ gia đình có mức thu nhập ở chính giữa so với tất cả các hộ gia đình của địa phương. Hỏi doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng nào?
Phương pháp giải:
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Cỡ mẫu n = 150
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{150}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thu nhập của 150 hộ gia đình được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{24}} \in [200;250)\); \({x_{25}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{86}} \in [250;300)\); \({x_{87}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{120}} \in [300;350)\); \({x_{121}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{141}} \in [350;400)\); \({x_{142}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{150}} \in [400;450)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{38}} \in [250;300)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 250 + \frac{{\frac{{150}}{4} - 24}}{{62}}(300 - 250) = \frac{{16175}}{{62}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{113}} \in [300;350)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 300 + \frac{{\frac{{3.150}}{4} - (24 + 62)}}{{34}}(350 - 300) = \frac{{11525}}{{34}}\)
b) Doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng \([{Q_1};{Q_3}) = [260,89;338,97)\)(triệu đồng)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 71 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hãy so sánh khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình và bác An trong Khởi động.
Phương pháp giải:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Lời giải chi tiết:
Cỡ mẫu \(n = 30\);
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{25}} \in [20;25)\); \({x_{26}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{30}} \in [25;30)\);
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_8} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{43}}{2}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{23}} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{49}}{2}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3\)
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_5} \in [15;20)\); \({y_6}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{17}} \in [20;25)\);\({y_{18}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{25}} \in [25;30)\);\({y_{26}};{y_{27}};{\rm{ }}{y_{28}} \in [30;35)\);\({y_{29}};{y_{30}} \in [35;40)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({y_8} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}-5}{{12}}(25 - 20) = \frac{{505}}{24}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{23}} \in [25;30)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 25 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - (5 + 12)}}{8}(30 - 25) = \frac{{455}}{{16}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{355}}{{48}}\)
Vì \(\frac{{355}}{{48}}>3\) nên khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 73 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Ví dụ 4 sau khi đã loại bỏ các giá trị ngoại lệ. Em có nhận xét gì về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị vừa tìm được và khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị ban đầu?
Hằng ngày ông Thắng đều đi xe buýt từ nhà đến cơ quan. Dưới đây là bảng thống kê thời gian của 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan.
b) Hãy so sánh độ phân tán của nửa giữa hai mẫu số liệu chiều cao của các học sinh nữ lớp 12C và 12D ở Thực hành 1.
Phương pháp giải:
a) Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5{\Delta _Q}\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
b) Tìm khoảng tứ phân vị của 2 nhóm số liệu rồi so sánh
Lời giải chi tiết:
a) Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm.
Khoảng biến thiên R = 33 – 15 = 18 (phút).
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{22}} \in [15;18)\); \({x_{23}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{60}} \in [18;21)\); \({x_{61}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{87}} \in [21;24)\); \({x_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{95}} \in [24;27)\);\({x_{96}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{99}} \in [27;30)\);\({x_{100}} \in [30;33)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}}) \in [18;21)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{693}}{{38}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{75}} + {x_{76}}) \in [21;24)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (22 + 38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{68}}{3}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{505}}{{114}}\).
Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5{\Delta _Q}\).
Hay \(x > \frac{{68}}{3} + 1,5.\frac{{505}}{{114}} = 29,31\) hoặc \(x < \frac{{693}}{{38}} - 1,5.\frac{{505}}{{114}} = 11,59\).
Do đó, chỉ có đúng 1 lần ông Thắng đi hết 32 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ: 30 – 15 = 15 (phút).
Gọi \({z_1};{\rm{ }}{z_2}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{99}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 99 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm, sau khi đã loại bỏ giá trị ngoại lệ.
Ta có: \({z_1};{\rm{ }}{z_2}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{22}} \in [15;18)\); \({z_{23}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{60}} \in [18;21); {z_{61}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{87}} \in [21;24); {z_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{95}} \in [24;27); {z_{95}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{99}} \in [27;30) \).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}'' = 18 + \frac{{\frac{{99}}{4}}-22}{{38}}(21 - 18) = \frac{{2769}}{{152}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}'' = 21 + \frac{{\frac{{3.99}}{4} - (22+38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{271}}{{12}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}'' = {Q_3}'' - {Q_1}'' = \frac{{1991}}{{456}}\).
Nhận xét: Sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên mới giảm mạnh còn khoảng tứ phân vị mới không bị ảnh hưởng nhiều.
b) Cỡ mẫu \(n = 25\).
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2} \in [155;160)\); \({x_3}; \ldots ;{\rm{ }}{x_9} \in [160;165)\);\({x_{10}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{21}} \in [165;170)\);\({x_{22}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{24}} \in [170;175)\);\({x_{25}} \in [180;185)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_6} + {x_7}) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 2}}{7}(165 - 160) = \frac{{4565}}{{28}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (2 + 7)}}{{12}}(170 - 165) = \frac{{2705}}{{16}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{675}}{{112}}\).
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_5} \in [155;160)\); \({y_6}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{14}} \in [160;165)\);\({y_{15}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{22}} \in [165;170)\);\({y_{23}};{\rm{ }}{{\rm{y}}_{24}} \in [170;175)\);\({y_{25}} \in [175;180)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_6} + {y_7}) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 5}}{9}(165 - 160) = \frac{{5785}}{{36}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (5 + 9)}}{8}(170 - 165) = \frac{{5375}}{{32}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{2095}}{{288}}\).
Có \({\Delta _Q}' > {\Delta _Q}\) nên chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D có độ phân tán lơn hơn lớp 12C.
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 73 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực A và B về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của từng mẫu số liệu ghép nhóm ứng với mỗi khu vực A và B.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực nào có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn?
Phương pháp giải:
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
b) Khoảng tứ phân vị càng bé thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị
Lời giải chi tiết:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: 34 – 19 = 15(tuổi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là: 31 – 19 = 12(tuổi)
Cỡ mẫu \(n = 100\)
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực A được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{10}} \in [19;22)\); \({x_{11}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{37}} \in [22;25)\);\({x_{38}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{68}} \in [25;28)\);\({x_{69}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{93}} \in [28;31)\);\({x_{94}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}} \in [31;34)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}}) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 10}}{{27}}(25 - 22) = \frac{{71}}{3}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{75}} + {x_{76}}) \in [28;31)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 28 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (10 + 27 + 31)}}{{25}}(31 - 28) = \frac{{721}}{{25}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{388}}{{75}}\)
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực B được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{47}} \in [19;22)\); \({y_{48}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{87}} \in [22;25)\);\({y_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{98}} \in [25;30)\);\({y_{99}};{y_{100}} \in [28;31)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_{25}} + {y_{26}}) \in [19;22)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 19 + \frac{{\frac{{100}}{4}}}{{47}}(22 - 19) = \frac{{968}}{{47}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_{75}} + {y_{76}}) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 22 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 47}}{{40}}(25 - 22) = \frac{{241}}{{10}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{1647}}{{470}}\)
b) Có \({\Delta _Q}' < {\Delta _Q}\) nên phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số tại một điểm và giới hạn vô cực. Đây là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán về đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng.
Bài tập này yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) khi x tiến tới 1. Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành (x - 1)(x + 1). Do đó, f(x) = (x + 1) khi x khác 1. Vậy, lim (x^2 - 1)/(x - 1) khi x tiến tới 1 bằng lim (x + 1) khi x tiến tới 1, tức là 2.
Bài tập này liên quan đến việc sử dụng các tính chất của giới hạn để tính giới hạn của một biểu thức phức tạp hơn. Cần chú ý đến việc áp dụng đúng các quy tắc và đảm bảo rằng các điều kiện để áp dụng các tính chất được thỏa mãn.
Bài tập này thường yêu cầu xét giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cực. Cần sử dụng các phương pháp như chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x để đơn giản hóa biểu thức và tìm giới hạn.
Việc nắm vững kiến thức về giới hạn của hàm số là rất quan trọng để học tốt môn Toán 12. Hy vọng rằng bài giải chi tiết mục 2 trang 70, 71, 72 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về khái niệm này và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
