Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương 6 của SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là vô cùng cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất có điều kiện.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ.

Phát biểu: Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω (không gian mẫu), thì xác suất của biến cố A được tính bằng:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
• Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Ta có:

• P(B₁) = 0.6
• P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác.

Phát biểu: Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω, thì xác suất có điều kiện P(B_i|A) được tính bằng:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó P(A) được tính theo công thức xác suất toàn phần.

Ví dụ: Tiếp tục ví dụ trên, nếu một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi, tính xác suất sản phẩm đó được sản xuất từ dây chuyền 1.

Giải:

Ta đã tính được P(A) = 0.024. Áp dụng công thức Bayes:

P(B₁|A) = [P(A|B₁)P(B₁)] / P(A) = (0.02 * 0.6) / 0.024 = 0.012 / 0.024 = 0.5

Vậy xác suất sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 1 là 50%.

3. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

• Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất cả hai quả bóng đều màu đỏ.
• Bài 2: Một cuộc khảo sát cho thấy 60% người dân thích xem phim hành động và 40% người dân thích xem phim hài. Trong số những người thích xem phim hành động, 70% thích xem phim hành động có yếu tố siêu anh hùng. Trong số những người thích xem phim hài, 30% thích xem phim hài lãng mạn. Tính xác suất một người được chọn ngẫu nhiên thích xem phim hành động có yếu tố siêu anh hùng.

4. Kết luận

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes là những công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất có điều kiện. Việc hiểu rõ và áp dụng linh hoạt hai công thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.