Bài 1. Xác suất có điều kiện

Bài 1. Xác suất có điều kiện - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Xác suất có điều kiện là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, công thức và các ví dụ minh họa về xác suất có điều kiện, dựa trên nội dung của SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 2, chương 6.

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Giả sử A và B là hai biến cố. Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa là:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), với P(B) > 0

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra.
• P(B) là xác suất của biến cố B.

Tương tự, xác suất có điều kiện của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra, ký hiệu là P(B|A), được định nghĩa là:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A), với P(A) > 0

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “cả hai quả bóng đều màu đỏ”.

Số cách chọn 2 quả bóng từ 8 quả bóng là C₈² = 28.

Số cách chọn 2 quả bóng đỏ từ 5 quả bóng đỏ là C₅² = 10.

Vậy, P(A) = 10/28 = 5/14.

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn, biết rằng mặt xuất hiện là số lớn hơn 2.

Giải:

Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện là số chẵn”.

Gọi B là biến cố “mặt xuất hiện là số lớn hơn 2”.

Các kết quả có thể xảy ra của B là {3, 4, 5, 6}.

Các kết quả thuộc A ∩ B là {4, 6}.

Vậy, P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 2/4 = 1/2.

3. Các công thức liên quan

Công thức nhân xác suất: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)

Công thức xác suất toàn phần: P(A) = P(A|B₁) * P(B₁) + P(A|B₂) * P(B₂) + ... + P(A|B_n) * P(B_n), với B₁, B₂, ..., B_n là một hệ đầy đủ các biến cố.

4. Bài tập áp dụng

Bài 1: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi môn Toán và 8 học sinh giỏi môn Văn. Có 5 học sinh giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh đó giỏi môn Toán, biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn.

Bài 2: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất ra 60% sản phẩm và dây chuyền 2 sản xuất ra 40% sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm lỗi của dây chuyền 1 là 2% và của dây chuyền 2 là 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ nhà máy. Tính xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi.

5. Kết luận

Bài 1. Xác suất có điều kiện cung cấp những kiến thức nền tảng và quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất. Việc nắm vững định nghĩa, công thức và các ví dụ minh họa sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc ứng dụng lý thuyết vào thực tế. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.