Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương 5 của sách Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 2 tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong hình học không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về vị trí tương đối giữa các đường thẳng và mặt phẳng, cũng như cách xác định đường thẳng trong không gian.

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Để xác định một đường thẳng trong không gian, chúng ta cần một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương là vectơ song song với đường thẳng đó. Nếu đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có vectơ chỉ phương \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) thì phương trình tham số của đường thẳng d được cho bởi:

• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt
• z = z₀ + ct

Trong đó, t là tham số thực.

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Ngoài phương trình tham số, đường thẳng còn có thể được biểu diễn bằng phương trình chính tắc. Nếu đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có vectơ chỉ phương \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) (với a₁, a₂, a₃ khác 0) thì phương trình chính tắc của đường thẳng d được cho bởi:

\frac{x - x_0}{a_1} = \frac{y - y_0}{a_2} = \frac{z - z_0}{a_3}

3. Các dạng phương trình khác của đường thẳng

Ngoài hai dạng phương trình trên, đường thẳng còn có thể được biểu diễn bằng các dạng phương trình khác, như phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng, hoặc hệ phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương \vec{a} = (4, 5, 6).

Giải:

• Phương trình tham số: x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = 3 + 6t
• Phương trình chính tắc: \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{6}

Ví dụ 2: Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1, 0, 1) và B(3, 2, 3).

Giải:

Vectơ \vec{AB} = (3-1, 2-0, 3-1) = (2, 2, 2) có thể được chọn làm vectơ chỉ phương của đường thẳng. Chọn điểm A(1, 0, 1) làm điểm thuộc đường thẳng. Vậy phương trình tham số của đường thẳng là: x = 1 + 2t, y = 2t, z = 1 + 2t.

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(-1, 2, 0) và có vectơ chỉ phương \vec{b} = (-2, 1, 3).
2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm P(2, -1, 3) và Q(0, 1, -1).
3. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng cho trước.

6. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian, các em cần chú ý:

• Xác định đúng điểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương.
• Sử dụng đúng công thức phương trình tham số và phương trình chính tắc.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian và áp dụng thành công vào giải các bài tập. Chúc các em học tập tốt!