Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình mặt phẳng trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo tại toan9.edu.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về phương trình mặt phẳng, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về vectơ pháp tuyến, các dạng phương trình mặt phẳng, và cách xác định mối quan hệ giữa các mặt phẳng.
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng Vecto pháp tuyến
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
Vecto pháp tuyến
| Vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\). |
Cặp vecto chỉ phương
| Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong \(\left( \alpha \right)\) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp vecto chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\). |
Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Tìm một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (ABCD).
b) Tìm một cặp vecto pháp
tuyến của mặt phẳng (ABCD).
Giải:
a) Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AD} \) là một cặp vecto pháp tuyến của (ABCD).
b) Vì \(AA'\)\( \bot \)(ABCD) nên \(\overrightarrow {AA'} \) là một vecto pháp tuyến của (ABCD).
2. Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương
Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\) làm cặp vecto chỉ phương thì \(\left( \alpha \right)\) nhận vecto \(\overrightarrow n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\) làm vecto pháp tuyến. |
Vecto \(\overrightarrow n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\) còn được gọi là tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\).
Biểu thức \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}\) thường được kí hiệu là \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\).
Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = 0\).
Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow a = (1;2;3)\), \(\overrightarrow b = (4;1;5)\) làm cặp vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của (P).
Giải: Ta có tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là
\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.5 - 3.1;3.4 - 1.5;1.1 - 2.4) = (7;7; - 7)\).
Do đó, mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{7}\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (1;1; - 1)\) làm một vecto pháp tuyến.
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng
| Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó. |
Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.
Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).
Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình tổng quát là
(P): \(3x - 5y + 7z = 0\) và (Q): \(x + y - 2 = 0\).
a) Tìm một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (P), (Q).
b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm A(1;3;1), B(1;2;3).
Giải:
a) Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (3; - 5;7)\).
Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (1;1;0)\).
b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.3 + 7.1 + 5 = 0.
Vậy A thuộc (P).
Thay tọa độ điểm B vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.2 + 7.3 + 5 = 19 \( \ne 0\).
Vậy B không thuộc (P).
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến
Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) có phương trình là: \(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\), với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) |
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;2;1)\).
Giải: Vì (P) đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;2;1)\) nên phương trình của (P) là \(1\left( {x--1} \right) + 2\left( {y--2} \right) + 1\left( {z--3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 8 = 0\).
Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau: - Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\). - Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \). |
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b = (2;1;3)\).
Giải: (P) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b = (2;1;3)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)\).
Phương trình của (P) là \(5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0\).
Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau: - Tìm cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \). - Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\). - Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \). |
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0).
Giải: (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0) nên có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = (0;1;1)\), \(\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (1.( - 1) - 1.0;1.3 - 0.( - 1);0.0 - 1.3) = ( - 1;3; - 3)\).
Phương trình của (P) là \( - 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z = 0\).
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
| Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c \( \ne \) 0 có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. |
4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó: \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó. |
Ví dụ: Mặt phẳng (P): \(4x + 3y + z + 5 = 0\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
a) (Q): \(8x + 6y + 2z + 9 = 0\);
b) (R): \(8x + 6y + 2z + 10 = 0\);
c) (S): \(4x + 2y + z + 5 = 0\).
Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R), (S) có các vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = (4;3;1)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = (8;6;2)\), \(\overrightarrow {{n_3}} = (8;6;2)\), \(\overrightarrow {{n_4}} = (4;2;1)\).
a) Ta có \(\overrightarrow {{n_2}} = 2\overrightarrow {{n_1}} \), \(9 \ne 2.5\). Vậy (P)//(Q).
b) Ta có \(\overrightarrow {{n_3}} = 2\overrightarrow {{n_1}} \), \(10 \ne 2.5\). Vậy (P)\( \equiv \)(R).
c) Ta có \(\frac{4}{3} \ne \frac{3}{2}\) suy ra \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_4}} \) không cùng phương. Vậy (P) cắt (S).
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó: \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0\) |
Ví dụ: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình là
(P): \(x - 4y + 3z + 2 = 0\), (Q): \(4x + y + 88 = 0\), (R): \(x + y + z + 9 = 0\). Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (R).
Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 4;3)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = (4;1;0)\), \(\overrightarrow {{n_3}} = (1;1;1)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0\). Vậy (P) ⊥ (Q).
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}} = 1.1 + ( - 4).1 + 3.1 = 0\). Vậy (P) ⊥ (R).
5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: \(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) |
Ví dụ: Tìm khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P): \(x + y + z + 12 = 0\).
Giải: \(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 1.2 + 1.3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 3 }} = 6\sqrt 3 \).
Phương trình mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán thực tế. Trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, việc nắm vững lý thuyết này là điều kiện cần thiết để đạt kết quả tốt.
Một mặt phẳng trong không gian được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng. Nếu n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), và M0(x0, y0, z0) là một điểm thuộc (P), thì phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Trong đó, n = (a, b, c) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ngoài dạng tổng quát đã nêu trên, phương trình mặt phẳng còn có các dạng khác:
Hai mặt phẳng (P) và (Q) có thể có các mối quan hệ sau:
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (1, -2, 1).
Giải: Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng, ta có:
1(x - 1) - 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0
⇔ x - 1 - 2y + 4 + z - 3 = 0
⇔ x - 2y + z = 0
Ví dụ 2: Xác định mối quan hệ giữa hai mặt phẳng (P): 2x - y + z - 1 = 0 và (Q): x + y - z + 2 = 0.
Giải: Vectơ pháp tuyến của (P) là nP = (2, -1, 1), vectơ pháp tuyến của (Q) là nQ = (1, 1, -1).
Ta có nP . nQ = 2*1 + (-1)*1 + 1*(-1) = 2 - 1 - 1 = 0. Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
Để nắm vững lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Chân trời sáng tạo, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. toan9.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Phương trình mặt phẳng. Chúc bạn học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
