Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của vecto, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và nâng cao về tọa độ của vecto, giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập trực tuyến tốt nhất với nội dung được trình bày rõ ràng, dễ hiểu và nhiều bài tập thực hành.
A. Lý thuyết 1. Tọa độ của vecto đối với một hệ trục tọa độ a) Trục tọa độ Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đồ thị xác định một điểm O (gọi là điểm gốc) và một vectơ e có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục.
A. Lý thuyết
1. Tọa độ của vecto đối với một hệ trục tọa độ
a) Trục tọa độ
Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đồ thị xác định một điểm O (gọi là điểm gốc) và một vectơ e có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục.
Ta ký hiệu trục đó là (O;e).
b) Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) gồm hai trục \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\) và \(\left( {O;\overrightarrow j } \right)\) vuông góc với nhau. Điểm góc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ.
Trục \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\) được gọi là trục hoành và ký hiệu là Ox, trục \(\left( {O;\overrightarrow j } \right)\) được gọi là trục tung và ký hiệu là Oy. Các vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \) là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy. Hệ trục tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) còn được ký hiệu là Oxy.
c) Tọa độ của một vecto
| Trong mặt phẳng Oxy, cặp số (x;y) trong biểu diễn \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \) được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow a \), kí hiệu \(\overrightarrow a = (x;y)\), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vecto \(\overrightarrow a \). |
Chú ý:
+ \(\overrightarrow a = (x;y) \Leftrightarrow \overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \).
+ Nếu \(\overrightarrow a = ({x_1};{y_1})\) và \(\overrightarrow b = ({x_2};{y_2})\) thì \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.\).
d) Tọa độ của một điểm
| Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm M tùy ý. Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \) được gọi là tọa độ của điểm M. |
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:
+ \(M(x;y) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \).
+ Nếu \(\overrightarrow {OM} = (x;y)\) thì x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm M.
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto
Cho hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\) và số thực k. Khi đó: + \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = ({a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2})\). + \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = ({a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2})\). + \(k\overrightarrow a = (k{a_1};k{a_2})\) với \(k \in \mathbb{R}\). + \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}\). |
3. Áp dụng của tọa độ vecto
a) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vecto trong mặt phẳng
Cho hai điểm \(A({x_A};{y_A})\), \(B({x_B};{y_B})\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\). |
b) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Cho hai điểm \(A({x_A};{y_A})\) và \(B({x_B};{y_B})\). Nếu \(M({x_M};{y_M})\) là trung điểm đoạn thẳng AB thì \({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\); \({y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\). Cho tam giác ABC có \(A({x_A};{y_A})\), \(B({x_B};{y_B})\), \(C({x_C};{y_C})\). Nếu \(G({x_G};{y_G})\) là trọng tâm tam giác ABC thì \({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\); \({y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\). |
c) Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto
Cho hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\) và hai điểm \(A({x_A};{y_A})\) và \(B({x_B};{y_B})\). Ta có: + \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0\). + \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\). + \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} \). + \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \). + \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}\) (\(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \)). |
B. Bài tập
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M, N, P, Q. Tìm tọa độ các vecto \(\overrightarrow {OM} \), \(\overrightarrow {ON} \), \(\overrightarrow {OP} \), \(\overrightarrow {OQ} \).
Giải:
Từ hình vẽ, ta có: M(-4;3), N(3;0), P(5;-2), Q(0;-3).
Do đó: \(\overrightarrow {OM} = ( - 4;3)\), \(\overrightarrow {ON} = (3;0)\), \(\overrightarrow {OP} = (5; - 2)\), \(\overrightarrow {OQ} = (0; - 3)\).
Bài 2: Tìm tọa độ của các vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) trong hình.
Giải:
Ta có:
\(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} \) và A(2;2); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ điểm A nên \(\overrightarrow a = (2;2)\).
\(\overrightarrow b = \overrightarrow {OB} \) và A(1;-3); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OB} \) chính là tọa độ điểm B nên \(\overrightarrow b = (1; - 3)\).
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2) và vecto \(\overrightarrow u = (3; - 4)\).
a) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow u \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
b) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OA} \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
Giải:
a) Vì \(\overrightarrow u = (3; - 4)\) nên \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i + ( - 4)\overrightarrow j = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
b) Vì điểm A có tọa độ là (1;2) nên \(\overrightarrow {OA} = (1;2)\). Do đó:
\(\overrightarrow {OA} = 1\overrightarrow i + 2\overrightarrow j = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j \).
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(1;1), B(4;3), C(-1;-2).
a) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \).
b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (4 - 1;3 - 1)\). Vậy \(\overrightarrow {AB} = (3;2)\).
b) Gọi tọa độ của điểm D là \(({x_D};{y_D})\), ta có: \(\overrightarrow {DC} = ( - 1 - {x_D}; - 2 - {y_D})\).
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = (3;2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - {x_D} = 3\\ - 2 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 4\\{y_D} = - 4\end{array} \right.\).
Vậy D(-4;-4).
Bài 5: Cho \(\overrightarrow u = (2; - 1)\), \(\overrightarrow v = (1;5)\). Tìm tọa độ của \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow u - \overrightarrow v \).
Giải:
\(\overrightarrow u + \overrightarrow v = (2 + 1; - 1 + 5) = (3;4)\); \(\overrightarrow u - \overrightarrow v = (2 - 1; - 1 - 5) = (1; - 6)\).
Bài 6: Cho ba điểm A(-1;-3), B(2;3) và C(3;5). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3;6)\), \(\overrightarrow {BC} = (1;2)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {BC} \).
Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Bài 7: Cho tma giác ABC có A(-2;1), B(2;5), C(5;2). Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải:
Do \(M({x_M};{y_M})\) là trung điểm của đoạn thẳng AB nên:
\({x_M} = \frac{{ - 2 + 2}}{2} = 0\); \({y_M} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\).
Vậy M(0;3).
Do \(G({x_G};{y_G})\) là trọng tâm tam giác ABC nên:
\({x_G} = \frac{{ - 2 + 2 + 5}}{3} = \frac{5}{3}\); \({y_G} = \frac{{1 + 5 + 2}}{3} = \frac{8}{3}\).
Vậy \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)\).
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;2), B(1;-1), C(8;0).
a) Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) và \(\cos \widehat {ABC}\).
b) Chứng minh \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \).
c) Giải tam giác ABC.
Giải:
a) Ta có \(\overrightarrow {BA} = (1;3)\), \(\overrightarrow {BC} = (7;1)\). Do đó \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 1.7 + 3.1 = 10\).
Mặt khác: \(\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \), \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{7^2} + {1^2}} = \sqrt {50} \).
\(\cos \widehat {ABC} = \cos (\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {50} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
b) Do \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 3)\) và \(\overrightarrow {AC} = (6; - 2)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = ( - 1).6 + ( - 3).( - 2) = 0\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \).
c) Do \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \) nên \(\widehat {BAC} = {90^o}\), tức tam giác ABC vuông tại A.
Mà \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) nên \(\widehat {ABC} \approx {63^o}\). Vì thế \(\widehat {ACB} \approx {90^o} - {63^o} = {27^o}\).
Mặt khác: \(AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {10} \), \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \),
\(CA = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \).
Trong chương trình Toán 10, kiến thức về vecto đóng vai trò then chốt, và việc hiểu rõ tọa độ của vecto là bước đầu tiên để làm chủ chủ đề này. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết tọa độ của vecto theo chương trình SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo, cung cấp đầy đủ các khái niệm, công thức và ví dụ minh họa.
Một vecto được xác định bởi độ dài và hướng. Trong mặt phẳng tọa độ, một vecto có thể được biểu diễn bằng một cặp số (x, y), gọi là tọa độ của vecto. x là hoành độ, y là tung độ của vecto.
Khi đã có tọa độ của vecto, chúng ta có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực một cách dễ dàng:
Có hai loại tích quan trọng của hai vecto:
Tọa độ của vecto được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học phẳng, đặc biệt là:
Ví dụ 1: Cho a = (2, -1) và b = (-3, 4). Tính a + b và 2a.
Giải:
a + b = (2 - 3, -1 + 4) = (-1, 3)
2a = (2*2, 2*(-1)) = (4, -2)
Ví dụ 2: Cho a = (1, 2) và b = (-2, 1). Tính tích vô hướng a.b.
Giải:
a.b = (1)*(-2) + (2)*(1) = -2 + 2 = 0
Để nắm vững lý thuyết tọa độ của vecto, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. toan9.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết tọa độ của vecto - SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
