Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán học lớp 10, đặc biệt là trong phần Bất phương trình bậc hai một ẩn. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình và có ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

2. Nghiệm của tam thức bậc hai

Nghiệm của tam thức bậc hai là giá trị của x sao cho f(x) = 0. Để tìm nghiệm, ta giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0. Phương trình này có thể có hai nghiệm phân biệt (x₁, x₂), một nghiệm kép hoặc không có nghiệm thực, tùy thuộc vào giá trị của delta (Δ) được tính bằng công thức Δ = b² - 4ac.

• Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.
• Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = -b/2a.
• Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.

3. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và delta (Δ). Ta xét các trường hợp sau:

1. Trường hợp 1: a > 0
• Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) dương khi x < x₁ hoặc x > x₂, âm khi x₁ < x < x₂.
• Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) dương với mọi x ≠ x₁.
• Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) dương với mọi x.
2. Trường hợp 2: a < 0
• Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) âm khi x < x₁ hoặc x > x₂, dương khi x₁ < x < x₂.
• Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) âm với mọi x ≠ x₁.
• Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) âm với mọi x.

4. Ví dụ minh họa

Xét tam thức f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, c = 2. Tính delta: Δ = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy phương trình 2x² - 5x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 1/2

x₂ = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 2

Vì a = 2 > 0, nên:

• f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2.
• f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2.

5. Ứng dụng của việc xét dấu tam thức bậc hai

Việc xét dấu tam thức bậc hai có ứng dụng quan trọng trong việc giải các bất phương trình bậc hai một ẩn. Ví dụ, để giải bất phương trình 2x² - 5x + 2 > 0, ta dựa vào kết quả xét dấu ở trên và kết luận nghiệm của bất phương trình là x < 1/2 hoặc x > 2.

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Xét dấu tam thức f(x) = -x² + 4x - 3.
• Bài 2: Giải bất phương trình x² - 3x + 2 < 0.
• Bài 3: Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) = x² - 2mx + m + 2 luôn dương với mọi x.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai và ứng dụng của nó trong giải toán. Chúc các em học tập tốt!