Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 65, 66, 67 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này được toan9.edu.vn biên soạn nhằm hỗ trợ các em trong quá trình tự học và ôn tập môn Toán.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải bài tập Toán đôi khi có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đã trình bày lời giải một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các bước giải chi tiết và giải thích cụ thể.
Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 880 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70 (Hình 5).
Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\\\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\)
Mà \(AB = 14,AC = 18,\widehat A = {62^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {18^2} + {14^2} - 2.18.14\cos {62^o} \approx 283,3863\\ \Leftrightarrow BC \approx 16,834\end{array}\)
Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:
\(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos B = \frac{{{{14}^2} + 16,{{834}^2} - {{18}^2}}}{{2.14.16,834}} \approx 0,3297\\\cos C = \frac{{{{18}^2} + 16,{{834}^2} - {{14}^2}}}{{2.18.16,834}} \approx 0,6788\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx {70^o}45'\\\widehat C \approx {47^o}15'\end{array} \right.\)
Vậy \(BC \approx 16,834;\widehat B \approx {70^o}45';\widehat C \approx {47^o}15'.\)
Phương pháp giải:
Với \(\widehat A = {90^o}\) ta sử dụng định lí Pytago.
Với \(\widehat A \ne {90^o}\): Áp dụng định lí cosin: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí Pytago, ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow BC = 5\end{array}\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP, ta có:
\(N{P^2} = M{N^2} + M{P^2} - 2.MN.MP\cos M\)
Mà \(MN = 4,MP = 3,\widehat M = {60^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow N{P^2} = {4^2} + {3^2} - 2.4.3\cos {60^o} = 13\\ \Leftrightarrow NP = \sqrt {13} \approx 3,6\end{array}\)
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và \(\widehat C \ge \widehat B.\) Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.
Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) theo gợi ý sau:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: \({a^2} = {d^2} + {(c - x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} - 2xc\) (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \({b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}\) (2)
\(\cos A = \frac{?}{b} \Rightarrow ? = b\cos A.\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lưu ý: Nếu \(\widehat B > \widehat C\) thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lưu ý: Vì A là góc tù nên \(\cos A = - \frac{x}{b}.\)
c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) có thể viết là \({a^2} = {b^2} + {c^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) ? = x vì \(\cos A = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{x}{b} \Rightarrow ? = x.\)
b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: \({a^2} = {d^2} + {(c + x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} + 2xc\) (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \({b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}\) (2)
\(\cos A = - \cos \widehat {DAC} = - \frac{x}{b} \Rightarrow x = - b\cos A.\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
c) Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Mà \(\widehat A = {90^o} \Rightarrow \cos A = \cos {90^o} = 0.\)
\( \Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\)
Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc \({70^o}\) (Hình 5).
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu hai vị trí đầu hồ và vị trí quan sát lần lượt bở các điểm A, B, C như hình dưới:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\)
Mà \(AB = 800,AC = 900,\widehat A = {70^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {900^2} + {800^2} - 2.900.800\cos {70^o} \approx 957490,9936\\ \Leftrightarrow BC \approx 978,5147\end{array}\)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu hồ là 978,5147 m.
Phương pháp giải:
Với \(\widehat A = {90^o}\) ta sử dụng định lí Pytago.
Với \(\widehat A \ne {90^o}\): Áp dụng định lí cosin: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí Pytago, ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow BC = 5\end{array}\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP, ta có:
\(N{P^2} = M{N^2} + M{P^2} - 2.MN.MP\cos M\)
Mà \(MN = 4,MP = 3,\widehat M = {60^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow N{P^2} = {4^2} + {3^2} - 2.4.3\cos {60^o} = 13\\ \Leftrightarrow NP = \sqrt {13} \approx 3,6\end{array}\)
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và \(\widehat C \ge \widehat B.\) Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.
Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) theo gợi ý sau:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: \({a^2} = {d^2} + {(c - x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} - 2xc\) (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \({b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}\) (2)
\(\cos A = \frac{?}{b} \Rightarrow ? = b\cos A.\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lưu ý: Nếu \(\widehat B > \widehat C\) thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lưu ý: Vì A là góc tù nên \(\cos A = - \frac{x}{b}.\)
c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) có thể viết là \({a^2} = {b^2} + {c^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) ? = x vì \(\cos A = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{x}{b} \Rightarrow ? = x.\)
b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: \({a^2} = {d^2} + {(c + x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} + 2xc\) (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \({b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}\) (2)
\(\cos A = - \cos \widehat {DAC} = - \frac{x}{b} \Rightarrow x = - b\cos A.\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
c) Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Mà \(\widehat A = {90^o} \Rightarrow \cos A = \cos {90^o} = 0.\)
\( \Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\)
Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\\\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\)
Mà \(AB = 14,AC = 18,\widehat A = {62^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {18^2} + {14^2} - 2.18.14\cos {62^o} \approx 283,3863\\ \Leftrightarrow BC \approx 16,834\end{array}\)
Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:
\(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos B = \frac{{{{14}^2} + 16,{{834}^2} - {{18}^2}}}{{2.14.16,834}} \approx 0,3297\\\cos C = \frac{{{{18}^2} + 16,{{834}^2} - {{14}^2}}}{{2.18.16,834}} \approx 0,6788\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx {70^o}45'\\\widehat C \approx {47^o}15'\end{array} \right.\)
Vậy \(BC \approx 16,834;\widehat B \approx {70^o}45';\widehat C \approx {47^o}15'.\)
Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc \({70^o}\) (Hình 5).
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu hai vị trí đầu hồ và vị trí quan sát lần lượt bở các điểm A, B, C như hình dưới:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\)
Mà \(AB = 800,AC = 900,\widehat A = {70^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {900^2} + {800^2} - 2.900.800\cos {70^o} \approx 957490,9936\\ \Leftrightarrow BC \approx 978,5147\end{array}\)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu hồ là 978,5147 m.
Mục 1 của chương trình Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu các khái niệm cơ bản về tập hợp, các phép toán trên tập hợp, và các tính chất của chúng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tốt các chương tiếp theo. Bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các định nghĩa, định lý đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh thực hiện các phép toán hợp, giao, hiệu, phần bù của các tập hợp cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của từng phép toán và áp dụng chúng một cách chính xác.
Bài tập này yêu cầu học sinh chứng minh các đẳng thức tập hợp bằng cách sử dụng các tính chất của các phép toán trên tập hợp. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các tính chất như tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân phối của các phép toán trên tập hợp.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về tập hợp để giải quyết các bài toán liên quan đến các tình huống thực tế. Ví dụ, bài toán về việc phân loại học sinh theo giới tính, hoặc bài toán về việc thống kê số lượng sản phẩm theo loại.
Bài 1.1: Cho A = {1, 2, 3, 4} và B = {3, 4, 5, 6}. Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
Giải:
Bài 1.2: Cho A = {a, b, c} và B = {b, c, d}. Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
Giải:
Ngoài SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tốt môn Toán:
Hy vọng rằng bài giải chi tiết mục 1 trang 65, 66, 67 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về các khái niệm và phép toán trên tập hợp, từ đó học tốt môn Toán 10. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
