Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 41, 42, 43, 44 SGK Toán 10 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập.
Bài giải này được xây dựng bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS
Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Từ biểu thức \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \), tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) theo tọa độ hai điểm A,B
Phương pháp giải:
Với \(\overrightarrow v = \left( {{v_1};{v_2}} \right),\overrightarrow w = \left( {{w_1};{w_2}} \right)\) thì \(\overrightarrow v + \overrightarrow w \) là \(\left( {{v_1} + {w_1};{v_2} + {w_2}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ điểm B và A
Nên ta có \(\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B}} \right),\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A}} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \left( {{x_B};{y_B}} \right) - \left( {{x_A};{y_A}} \right) = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\)
Cho \(E\left( {9;9} \right),F\left( {8; - 7} \right),G\left( {0; - 6} \right)\). Tìm tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {FE} ,\overrightarrow {FG} ,\overrightarrow {EG} \)
Phương pháp giải:
\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\)
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {FE} = ({x_E} - {x_F};{y_E} - {y_F}) = (9 - 8;9 - ( - 7)) = (1;16)\\\overrightarrow {FG} = ({x_G} - {x_F};{y_G} - {y_F}) = (0 - 8;( - 6) - ( - 7)) = ( - 8;1)\\\overrightarrow {EG} = ({x_G} - {x_E};{y_G} - {y_E}) = (0 - 9;( - 6) - 9) = ( - 9; - 15)\end{array}\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng AB, \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) là trọng tâm của tam giác ABC
a) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \)
b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {OG} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OC} \)
c) Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M, G theo tọa độ của các điểm A, B, C
Phương pháp giải:
a) Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\) (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)
b) Sử dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\) (với G là trọng tâm của tam giác ABC)
c) Thay tọa độ các điểm vào và xác định
Lời giải chi tiết:
a) M là trung điểm của đoạn thẳng AB, áp dụng tính chất trung điểm ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)
b) G là trọng tâm của tam giác ABC, áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác ta có:
\(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
c) Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B}} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C}} \right)\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x_A};{y_A}} \right) + \left( {{x_B};{y_B}} \right)} \right]\\ = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = \frac{1}{3}\left[ {\left( {{x_A};{y_A}} \right) + \left( {{x_B};{y_B}} \right) + \left( {{x_c};{y_c}} \right)} \right]\\ = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\end{array}\)
Mà ta có tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OM} \) chính là tọa độ điểm M, nên ta có
Tọa độ điểm M là \(\left( {{x_M};{y_M}} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)
Tọa độ điểm G là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)
Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh \(Q\left( {7; - 2} \right),R( - 4;9)\) và \(S(5;8)\).
a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS.
Phương pháp giải:
Tọa độ điểm M là \(\left( {\frac{{{x_Q} + {x_S}}}{2};\frac{{{y_Q} + {y_S}}}{2}} \right)\).
Tọa độ điểm G là \(\left( {\frac{{{x_Q} + {x_R} + {x_S}}}{3};\frac{{{y_Q} + {y_R} + {y_S}}}{3}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) \({x_M} = \frac{{{x_Q} + {x_S}}}{2} = \frac{{7 + 5}}{2} = 6; \\{y_M} = \frac{{{y_Q} + {y_S}}}{2} = \frac{{( - 2) + 8}}{2} = 3\).
Vậy \(M\left( {6;3} \right)\).
b)
\({x_G} = \frac{{{x_Q} + {x_S} + {x_R}}}{3} = \frac{{7 + ( - 4) + 5}}{3} = \frac{8}{3};\\{y_M} = \frac{{{y_Q} + {y_S} + {y_R}}}{3} = \frac{{( - 2) + 9 + 8}}{3} = 5\).
Vậy \(G\left( {\frac{8}{3};5} \right)\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2}),\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\) và hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Hoàn thành các phép biến đổi sau:
a) \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = ...?\)
b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = t{b_1}\\{a_2} = t{b_2}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = ...?\)
c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}} = \sqrt {.?.} \)
d) \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)}^2}} = \sqrt {.?.} \)
e) \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{.?.}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}\) (\(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \))
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0\)
b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = t{b_1}\\{a_2} = t{b_2}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = {a_1}.k{a_2} - {a_2}.k{a_1} = 0\)
c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}} = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} \)
d) \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
e) \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh \(D(2;2),E(6;2)\) và \(F(2;6)\)
a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường vuông cao của tam giác DEF kẻ từ D
b) Giải tam giác DEF
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {DH} ,\overrightarrow {EF} \)
Bước 2: Dựa vào ứng dụng tọa độ của các phép toán vectơ (tính chất vuông góc)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {EF} = \left( { - 2;4} \right)\)
Gọi tọa độ điểm H là \(\left( {x;y} \right)\) ta có \(\overrightarrow {DH} = \left( {x - 2;y - 2} \right),\overrightarrow {EH} = \left( {x - 6;y - 2} \right)\)
H là chân đường cao nên \(\overrightarrow {DH} \bot \overrightarrow {EF} \)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DH} \bot \overrightarrow {EF} \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right).\left( { - 2} \right) + \left( {y - 2} \right).4 = 0\\ \Leftrightarrow - 2x + 4y - 4 = 0\end{array}\) (1)
Hai vectơ \(\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {EF} \) cùng phương
\( \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right).( - 2) - \left( {y - 2} \right).4 = 0 \Leftrightarrow - 2x - 4y + 20 = 0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 4y - 4 = 0\\ - 2x - 4y + 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy \(H(4;3)\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {DE} = (4;0),\overrightarrow {DF} = (0;4),\overrightarrow {EF} = ( - 4;4)\)
Suy ra: \(DE = \left| {\overrightarrow {DE} } \right| = \sqrt {{4^2} + {0^2}} = 4,DF = \left| {\overrightarrow {DF} } \right| = \sqrt {{0^2} + {4^2}} = 4\)
\(EF = \left| {\overrightarrow {EF} } \right| = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l}\cos D = \cos \left( {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {DF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {DE} .\overrightarrow {DF} }}{{DE.DF}} = \frac{{4.0 + 0.4}}{{4.4}} = 0 \Rightarrow \widehat D = 90^\circ \\\cos E = \cos \left( {\overrightarrow {ED} ,\overrightarrow {EF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {ED} .\overrightarrow {EF} }}{{ED.EF}} = \frac{{\left( { - 4} \right).\left( { - 4} \right) + 0.4}}{{4.4\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat E = 45^\circ \\\widehat F = 180^\circ - \widehat D - \widehat E = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \end{array}\)
Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ \(B\left( {50;30} \right)\) và \(C\left( {32; - 23} \right)\). Một con tàu đang neo đậu tại điểm \(A\left( { - 10;20} \right)\)
a) Tính số đo của \(\widehat {BAC}\)
b) Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} \)
Bước 2:
a) \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} \)
b) \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {(x_B - x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {60;10} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {42; - 43} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 18; - 53} \right)\)
\(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{60.42 + 10.( - 43)}}{{\sqrt {{{60}^2} + {{10}^2}} .\sqrt {{{42}^2} + {{\left( { - 43} \right)}^2}} }} \simeq 0,572 \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 55^\circ 8'\)
b)
Khoảng cách từ tàu đến đảo B là \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{60}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt {37} \) (km)
Khoảng cách từ tàu đến đảo B là \(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{42}^2} + {{\left( { - 43} \right)}^2}} = \sqrt {3613} \) (km)
Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Từ biểu thức \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \), tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) theo tọa độ hai điểm A,B
Phương pháp giải:
Với \(\overrightarrow v = \left( {{v_1};{v_2}} \right),\overrightarrow w = \left( {{w_1};{w_2}} \right)\) thì \(\overrightarrow v + \overrightarrow w \) là \(\left( {{v_1} + {w_1};{v_2} + {w_2}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ điểm B và A
Nên ta có \(\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B}} \right),\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A}} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \left( {{x_B};{y_B}} \right) - \left( {{x_A};{y_A}} \right) = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\)
Cho \(E\left( {9;9} \right),F\left( {8; - 7} \right),G\left( {0; - 6} \right)\). Tìm tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {FE} ,\overrightarrow {FG} ,\overrightarrow {EG} \)
Phương pháp giải:
\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\)
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {FE} = ({x_E} - {x_F};{y_E} - {y_F}) = (9 - 8;9 - ( - 7)) = (1;16)\\\overrightarrow {FG} = ({x_G} - {x_F};{y_G} - {y_F}) = (0 - 8;( - 6) - ( - 7)) = ( - 8;1)\\\overrightarrow {EG} = ({x_G} - {x_E};{y_G} - {y_E}) = (0 - 9;( - 6) - 9) = ( - 9; - 15)\end{array}\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng AB, \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) là trọng tâm của tam giác ABC
a) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \)
b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {OG} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OC} \)
c) Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M, G theo tọa độ của các điểm A, B, C
Phương pháp giải:
a) Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\) (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)
b) Sử dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\) (với G là trọng tâm của tam giác ABC)
c) Thay tọa độ các điểm vào và xác định
Lời giải chi tiết:
a) M là trung điểm của đoạn thẳng AB, áp dụng tính chất trung điểm ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)
b) G là trọng tâm của tam giác ABC, áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác ta có:
\(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
c) Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B}} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C}} \right)\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x_A};{y_A}} \right) + \left( {{x_B};{y_B}} \right)} \right]\\ = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = \frac{1}{3}\left[ {\left( {{x_A};{y_A}} \right) + \left( {{x_B};{y_B}} \right) + \left( {{x_c};{y_c}} \right)} \right]\\ = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\end{array}\)
Mà ta có tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OM} \) chính là tọa độ điểm M, nên ta có
Tọa độ điểm M là \(\left( {{x_M};{y_M}} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)
Tọa độ điểm G là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)
Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh \(Q\left( {7; - 2} \right),R( - 4;9)\) và \(S(5;8)\).
a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS.
Phương pháp giải:
Tọa độ điểm M là \(\left( {\frac{{{x_Q} + {x_S}}}{2};\frac{{{y_Q} + {y_S}}}{2}} \right)\).
Tọa độ điểm G là \(\left( {\frac{{{x_Q} + {x_R} + {x_S}}}{3};\frac{{{y_Q} + {y_R} + {y_S}}}{3}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) \({x_M} = \frac{{{x_Q} + {x_S}}}{2} = \frac{{7 + 5}}{2} = 6; \\{y_M} = \frac{{{y_Q} + {y_S}}}{2} = \frac{{( - 2) + 8}}{2} = 3\).
Vậy \(M\left( {6;3} \right)\).
b)
\({x_G} = \frac{{{x_Q} + {x_S} + {x_R}}}{3} = \frac{{7 + ( - 4) + 5}}{3} = \frac{8}{3};\\{y_M} = \frac{{{y_Q} + {y_S} + {y_R}}}{3} = \frac{{( - 2) + 9 + 8}}{3} = 5\).
Vậy \(G\left( {\frac{8}{3};5} \right)\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2}),\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\) và hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Hoàn thành các phép biến đổi sau:
a) \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = ...?\)
b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = t{b_1}\\{a_2} = t{b_2}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = ...?\)
c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}} = \sqrt {.?.} \)
d) \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)}^2}} = \sqrt {.?.} \)
e) \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{.?.}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}\) (\(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \))
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0\)
b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = t{b_1}\\{a_2} = t{b_2}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = {a_1}.k{a_2} - {a_2}.k{a_1} = 0\)
c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}} = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} \)
d) \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
e) \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh \(D(2;2),E(6;2)\) và \(F(2;6)\)
a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường vuông cao của tam giác DEF kẻ từ D
b) Giải tam giác DEF
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {DH} ,\overrightarrow {EF} \)
Bước 2: Dựa vào ứng dụng tọa độ của các phép toán vectơ (tính chất vuông góc)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {EF} = \left( { - 2;4} \right)\)
Gọi tọa độ điểm H là \(\left( {x;y} \right)\) ta có \(\overrightarrow {DH} = \left( {x - 2;y - 2} \right),\overrightarrow {EH} = \left( {x - 6;y - 2} \right)\)
H là chân đường cao nên \(\overrightarrow {DH} \bot \overrightarrow {EF} \)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DH} \bot \overrightarrow {EF} \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right).\left( { - 2} \right) + \left( {y - 2} \right).4 = 0\\ \Leftrightarrow - 2x + 4y - 4 = 0\end{array}\) (1)
Hai vectơ \(\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {EF} \) cùng phương
\( \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right).( - 2) - \left( {y - 2} \right).4 = 0 \Leftrightarrow - 2x - 4y + 20 = 0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 4y - 4 = 0\\ - 2x - 4y + 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy \(H(4;3)\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {DE} = (4;0),\overrightarrow {DF} = (0;4),\overrightarrow {EF} = ( - 4;4)\)
Suy ra: \(DE = \left| {\overrightarrow {DE} } \right| = \sqrt {{4^2} + {0^2}} = 4,DF = \left| {\overrightarrow {DF} } \right| = \sqrt {{0^2} + {4^2}} = 4\)
\(EF = \left| {\overrightarrow {EF} } \right| = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l}\cos D = \cos \left( {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {DF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {DE} .\overrightarrow {DF} }}{{DE.DF}} = \frac{{4.0 + 0.4}}{{4.4}} = 0 \Rightarrow \widehat D = 90^\circ \\\cos E = \cos \left( {\overrightarrow {ED} ,\overrightarrow {EF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {ED} .\overrightarrow {EF} }}{{ED.EF}} = \frac{{\left( { - 4} \right).\left( { - 4} \right) + 0.4}}{{4.4\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat E = 45^\circ \\\widehat F = 180^\circ - \widehat D - \widehat E = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \end{array}\)
Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ \(B\left( {50;30} \right)\) và \(C\left( {32; - 23} \right)\). Một con tàu đang neo đậu tại điểm \(A\left( { - 10;20} \right)\)
a) Tính số đo của \(\widehat {BAC}\)
b) Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} \)
Bước 2:
a) \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} \)
b) \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {(x_B - x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {60;10} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {42; - 43} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 18; - 53} \right)\)
\(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{60.42 + 10.( - 43)}}{{\sqrt {{{60}^2} + {{10}^2}} .\sqrt {{{42}^2} + {{\left( { - 43} \right)}^2}} }} \simeq 0,572 \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 55^\circ 8'\)
b)
Khoảng cách từ tàu đến đảo B là \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{60}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt {37} \) (km)
Khoảng cách từ tàu đến đảo B là \(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{42}^2} + {{\left( { - 43} \right)}^2}} = \sqrt {3613} \) (km)
Mục 3 trong SGK Toán 10 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ứng dụng kiến thức về vectơ trong hình học. Cụ thể, các bài tập trong mục này thường liên quan đến việc xác định tọa độ của vectơ, thực hiện các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực), và sử dụng vectơ để chứng minh các tính chất hình học.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định tọa độ của vectơ dựa trên tọa độ của các điểm đầu và điểm cuối. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững công thức: Nếu A(xA, yA) và B(xB, yB) thì vectơ AB có tọa độ (xB - xA, yB - yA).
Bài tập này tập trung vào việc thực hiện phép cộng và phép trừ vectơ. Quy tắc cộng và trừ vectơ được thực hiện theo tọa độ: Nếu a = (x1, y1) và b = (x2, y2) thì a + b = (x1 + x2, y1 + y2) và a - b = (x1 - x2, y1 - y2).
Bài tập này yêu cầu học sinh thực hiện phép nhân vectơ với một số thực. Quy tắc nhân vectơ với một số thực được thực hiện theo tọa độ: Nếu a = (x, y) và k là một số thực thì k.a = (kx, ky).
Bài tập này yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các tính chất hình học, chẳng hạn như chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh ba điểm thẳng hàng, hoặc chứng minh một tứ giác là hình bình hành. Để giải bài tập này, học sinh cần kết hợp kiến thức về vectơ với kiến thức về hình học.
Ví dụ: Cho A(1, 2) và B(3, 4). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải: Vectơ AB có tọa độ (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2).
Khi giải bài tập về vectơ, học sinh cần chú ý đến dấu của tọa độ vectơ và đảm bảo sử dụng đúng công thức. Ngoài ra, việc kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong là rất quan trọng để tránh sai sót.
Hy vọng với bài giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về vectơ trong SGK Toán 10 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
