Bài 3. Tích của một số với một vectơ

Bài 3 trong chương V, Vecto của SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 đi sâu vào một phép toán cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong hình học vectơ: tích của một số với một vectơ. Hiểu rõ về phép toán này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn liên quan đến vectơ.

1. Định nghĩa tích của một số với một vectơ

Cho vectơ a và một số thực k. Tích của số k với vectơ a là một vectơ, ký hiệu là k.a, được định nghĩa như sau:

• Nếu k > 0: k.a là một vectơ cùng hướng với a và có độ dài gấp k lần độ dài của a.
• Nếu k < 0: k.a là một vectơ ngược hướng với a và có độ dài gấp |k| lần độ dài của a.
• Nếu k = 0: k.a là vectơ không 0.

Công thức tổng quát:

k.a = (k.ax; k.ay)

2. Tính chất của phép nhân vectơ với một số thực

Phép nhân vectơ với một số thực tuân theo các tính chất sau:

1. (m + n).a = m.a + n.a
2. m.(a + b) = m.a + m.b
3. m.(n.a) = (m.n).a
4. 1.a = a
5. 0.a = 0

Những tính chất này giúp đơn giản hóa các phép toán với vectơ và là công cụ quan trọng trong việc chứng minh các bài toán hình học.

3. Ứng dụng của tích của một số với một vectơ

Phép nhân vectơ với một số thực có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như:

• Vật lý: Biểu diễn lực, vận tốc, gia tốc. Ví dụ, nếu F là lực tác dụng lên một vật, thì 2F biểu diễn một lực có cùng phương, cùng chiều nhưng có độ lớn gấp đôi.
• Hình học: Xác định vị trí của một điểm trên đường thẳng, chia đoạn thẳng theo một tỷ lệ nhất định.
• Tin học: Xử lý ảnh, đồ họa máy tính.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho hai vectơ a = (2; -3) và b = (-1; 4). Tính 3a và -2b.

Giải:

3a = (3 * 2; 3 * -3) = (6; -9)

-2b = (-2 * -1; -2 * 4) = (2; -8)

Bài tập 2: Cho điểm A(1; 2) và vectơ u = (3; 1). Tìm tọa độ điểm B sao cho AB = 2u.

Giải:

2u = (2 * 3; 2 * 1) = (6; 2)

Gọi B(x; y). Ta có AB = (x - 1; y - 2) = (6; 2)

Suy ra x - 1 = 6 và y - 2 = 2

Vậy x = 7 và y = 4. Điểm B có tọa độ (7; 4).

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tích của một số với một vectơ, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tham khảo SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 và các tài liệu luyện tập khác để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Toan9.edu.vn sẽ tiếp tục cung cấp những bài giảng và bài tập chất lượng để giúp bạn học Toán hiệu quả hơn. Chúc bạn học tốt!