Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - một phần kiến thức cốt lõi trong chương trình SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những khái niệm cơ bản, công thức và phương pháp giải bài tập một cách hiệu quả.
Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học toán online tốt nhất với nội dung được trình bày rõ ràng, dễ hiểu và nhiều bài tập thực hành để củng cố kiến thức.
1. Hoán vị a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Hoán vị
a) Định nghĩa
| Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phần tử). |
b) Số các hoán vị
Kí hiệu \({P_n}\) là số hoán vị của n phần tử. Ta có \({P_n} = n(n - 1)...2.1\). |
Chú ý:
- Ta đưa vào kí hiệu n! = n(n – 1)(n – 2)…2.1 và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n. Khi đó, \({P_n} = n!\).
- Quy ước: 0! = 1.
2. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa
Trong thực tiễn, bên cạnh việc chọn ra một số đối tượng từ những đối tượng cho trước, ta còn cần sắp xếp thứ tự của những đối tượng được chọn ra.
| Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chính hợp chập k của n phần tử đó. |
b) Số các chỉnh hợp
Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập k của n phần tử \((1 \le k \le n)\). Ta có: \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}} = n(n - 1)...(n - k + 1)\). |
Nhận xét: Mỗi hoán vị n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Ta có \({P_n} = A_n^n\), \(n \ge 1\).
3. Tổ hợp
a) Định nghĩa
| Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. |
b) Số các tổ hợp
Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phần tử với \(1 \le k \le n\). Ta có: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) với \(0 \le k \le n\). |
Chú ý: Người ta quy ước \(C_n^0 = 1\).
Nhận xét:
| Ta có hệ thức \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}}\). |
4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay
Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
Ví dụ 1: Tính \({P_8} = 8!\).
Ta được kết quả 40320.
Ví dụ 2: Tính C\(A_{12}^5\).
Ta được 95040.
Ví dụ 3: Tính \(C_{20}^{11}\).
Ta được 167960.
B. Bài tập
Bài 1: Bài đồ xe ô tô còn lại ba chỗ trống như hình vẽ. Có ba chiếc ô tô (kí hiệu A, B, C) đang đi vào bãi để xe ô tô.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống?
b) Vẽ sơ đồ hình cây về các cách sắp xếp và kiểm tra kết quả tính toán ở trên.
Giải:
a) Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là một hoán vị của ba chiếc xe. Do đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là \({P_3} = 3.2.1 = 6\) (cách).
b) Sơ đồ hình cây như hình dưới. Sơ đồ có ba cành lớn, mỗi cạnh lớn có hai cành vừa, mỗi cành vừa có một cạnh bé. Từ đó, số cạnh bé bằng 3.2.1 = 6. Từ đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là 6 cách.
Bài 2: Tính số cách xếp thứ tự đã luân lưu 11 m của 5 cầu thủ.
Giải:
Mỗi cách xếp thứ tự đã luận lưu 11 m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ.
Vậy số cách sắp xếp là: \({P_5} = 5.4.3.2.1 = 120\).
Bài 3: Phần thi chung kết nội dung chạy cự li 1500 m của một giải đấu có 10 vận động viên tham gia. Có bao nhiêu khả năng về kết quả 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng sau khi phần thi kết thúc? Biết rằng không có hai vận động viên nào về đích.
Giải:
Mỗi kết quả về 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng của nội dung thi đấu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 vận động viên. Do đó, số kết quả có thể là \(A_{10}^3 = 10.9.8 = 720\).
Bài 4: Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã của là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã?
Giải:
Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.
Vậy có \(A_{10}^6 = 10.9.8.7.6.5 = 151200\) (cách để tạo mật mã).
Bài 5: Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.
Giải:
Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:
{áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu}, {áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.
Bài 6: Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.
a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?
c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?
Giải:
a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có \(C_{18}^3\) cách chọn.
b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có \(C_{20}^5\) cách chọn.
c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: \(C_{18}^3.C_{20}^5 = 816.15504 = 12651264\).
Bài 7: Tổ Một có 9 thành viên. Tuần tới là phiên trực nhật của tổ, nên cần phân công 4 bạn đi bề ghế của lớp cho buổi chào cờ. a) Tổ có bao nhiêu cách phân công 4 bạn đi bề ghế? b) Tổ có bao nhiêu cách chọn 5 bạn không phải đi bề ghế?
Giải:
a) Mỗi cách phân công 4 bạn từ 9 bạn là một tổ hợp chập 4 của 9 bạn. Do đó, số cách phân công 4 bạn của tổ đi bề ghế là \(C_9^4 = \frac{{9!}}{{4!5!}} = \frac{{9.8.7.6}}{{4.3.2.1}} = 126\) (cách).
b) Tương tự, số cách chọn 5 bạn từ 9 bạn không phải đi bề ghế là \(C_9^5 = \frac{{9!}}{{5!4!}} = 126\) (cách).
Trong chương trình Toán 10, phần Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Đây là nền tảng cho nhiều kiến thức toán học nâng cao hơn trong tương lai.
Trước khi đi sâu vào từng loại, chúng ta cần hiểu rõ sự khác biệt giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp:
Số hoán vị của n phần tử là số cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự nhất định, ký hiệu là Pn. Công thức tính:
Pn = n!
Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?
Giải: P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cách
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là số cách chọn và sắp xếp k phần tử từ n phần tử, ký hiệu là Ank. Công thức tính:
Ank = n! / (n-k)!
Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 5 học sinh để làm trực nhật?
Giải: A52 = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 x 4 = 20 cách
Số tổ hợp chập k của n phần tử là số cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự, ký hiệu là Cnk. Công thức tính:
Cnk = n! / (k! * (n-k)!)
Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 5 học sinh để thành lập một nhóm?
Giải: C53 = 5! / (3! * 2!) = (5 x 4) / (2 x 1) = 10 cách
Các bài tập về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thường yêu cầu:
Bài 1: Một đội bóng đá có 11 cầu thủ. Huấn luyện viên muốn chọn ra 5 cầu thủ để đá chính. Có bao nhiêu cách chọn?
Giải: Đây là bài toán tổ hợp vì thứ tự chọn cầu thủ không quan trọng. Số cách chọn là C115 = 11! / (5! * 6!) = 462 cách.
Bài 2: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?
Giải: Đây là bài toán chỉnh hợp vì thứ tự các chữ số là quan trọng. Số cách chọn là A53 = 5! / (5-3)! = 5 x 4 x 3 = 60 số.
Để nắm vững kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo và các nguồn tài liệu khác để rèn luyện kỹ năng giải toán.
Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 10. Việc hiểu rõ các khái niệm và công thức sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin hơn. Chúc bạn học tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
