Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính theo công thức:

a.b = |a||b|cos(θ)

Trong đó:

• |a| và |b| là độ dài của vectơ a và b.
• θ là góc giữa hai vectơ a và b.

2. Tính chất của tích vô hướng

• a.b = b.a (Tính giao hoán)
• a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng vectơ)
• (ka).b = k(a.b) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
• Nếu a vuông góc với b thì a.b = 0

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂). Khi đó:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂

4. Ứng dụng của tích vô hướng

• Tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Nếu a.b = 0 thì a vuông góc với b.
• Tính độ dài hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác: Độ dài hình chiếu của a lên b là |a.b| / |b|.

5. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (2; 3) và b = (-1; 4). Tính tích vô hướng của a và b.

Giải:a.b = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10

Ví dụ 2: Cho hai vectơ a = (1; -1) và b = (2; 2). Tính góc giữa hai vectơ a và b.

Giải:a.b = (1)(2) + (-1)(2) = 0. Vì a.b = 0 nên hai vectơ a và b vuông góc với nhau, góc giữa chúng là 90°.

6. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về tích vô hướng, bạn hãy tự giải các bài tập sau trong SGK Toán 10 tập 1, Chân trời sáng tạo:

1. Bài 1: Tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau: ...
2. Bài 2: Tìm góc giữa hai vectơ sau: ...
3. Bài 3: ...

Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!