Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto, một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 10 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản và nâng cao về tích vô hướng, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học toán online tốt nhất với nội dung được trình bày rõ ràng, dễ hiểu và nhiều bài tập thực hành.
I. ĐỊNH NGHĨA II. TÍCH CHẤT III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
a) Tích vô hướng của hai vecto có cùng điểm đầu
Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\). Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) là một số thực, kí hiệu \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \), được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\). |
b) Tích vô hướng của hai vecto tùy ý
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \), kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\). Lấy một điểm O và vẽ vecto \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \).
Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\), là góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \). Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), kí hiệu \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \), là tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \). Như vậy, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\). |
Quy ước: Tích vô hướng của một vecto bất kì vói vecto \(\overrightarrow 0 \) là số 0.
Chú ý:
+) \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right)\).
+) Nếu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}\) thì ta nói hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) vuông góc với nhau, kí hiệu \(\vec a \bot \vec b\) hoặc \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos {90^o} = 0\).
+) Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.
+) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.
2. Tính chất
Với hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và số thực k tùy ý, ta có: +) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a \) (tính chất giao hoán). +) \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c \) (tính chất phân phối). +) \(\left( {k\overrightarrow a } \right).\overrightarrow b = k\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a .\left( {k\overrightarrow b } \right)\). +) \({\overrightarrow a ^2} \ge 0\), \({\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \). |
Trong đó, kí hiệu \(\overrightarrow a .\overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2}\) và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vecto \(\overrightarrow a \).
3. Một số ứng dụng
a) Tính độ dài của đoạn thẳng
Nhận xét: Với hai điểm A, B phân biệt, ta có \({\overrightarrow {AB} ^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}\). Do đó, độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: \(AB = \sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}} \).
b) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Nhận xét: Cho hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \).
B. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 4 cm.
a) Tính độ dài cạnh huyền BC.
b) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \).
Giải:
a) \(BC = AB\sqrt 2 = 4\sqrt 2 \) (cm).
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = 4.4.\cos \widehat {BAC} = 16.\cos {90^o} = 16.0 = 0\).
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)
\( = 4.4\sqrt 2 .\cos \widehat {ABC} = 16\sqrt 2 .\cos {45^o} = 16\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 16\).
Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O có độ dài cạnh bằng a. Tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC} \).
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} \).
c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OD} \).
Giải:
a) Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) = \widehat {BAO} = {45^o}\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {OC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OC} } \right) = a.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\cos {45^o} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
b) Vẽ vecto \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} \). Ta có:
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {EBD} = {135^o}\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos {135^o} = {a^2}\sqrt 2 .\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = - {a^2}\).
c) Vì \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {BO} = \overrightarrow {OD} \) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BO} } \right) = \widehat {EBO} = {135^o}\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OD} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {OD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OD} } \right) = a.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\cos {135^o} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}.\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = \frac{{ - {a^2}}}{2}\).
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB và I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng với mỗi điểm O, ta có:
a) \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IB} = 0\).
b) \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {OB} }^2} - {{\overrightarrow {OA} }^2}} \right)\).
Giải:
a) Vì I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).
Vậy \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {OI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {OI} .\overrightarrow 0 = 0\).
b) Vì I là trung điểm AB nên \(2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} } \right)\).
Vậy \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = \frac{1}{2}.\left( {{{\overrightarrow {OB} }^2} - {{\overrightarrow {OA} }^2}} \right)\).
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \).
Giải:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) (do \(\overrightarrow {AB} \) vuông góc với \(\overrightarrow {AC} \)).
Bài 5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\) (định lí cosin trong tam giác).
Giải:
Ta có \({\overrightarrow {BC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} - 2.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \).
Suy ra \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\).
Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong hình học vectơ, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng thực tế.
Cho hai vectơ a và b. Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a ⋅ b, được định nghĩa bởi:
a ⋅ b = |a| |b| cos(θ)
Trong đó:
Trong không gian tọa độ, nếu a = (x1; y1) và b = (x2; y2) thì:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2
Tổng quát hơn, trong không gian Oxyz, nếu a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) thì:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Ví dụ 1: Cho a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính a ⋅ b.
Giải:a ⋅ b = 2 * 1 + (-1) * 3 = 2 - 3 = -1
Ví dụ 2: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 0; 1). Tính a ⋅ b.
Giải:a ⋅ b = 1 * (-2) + 2 * 0 + 3 * 1 = -2 + 0 + 3 = 1
Lý thuyết tích vô hướng của hai vectơ là một công cụ mạnh mẽ trong hình học vectơ, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán một cách hiệu quả. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng là rất quan trọng để học tốt môn Toán 10.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
