Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai - SGK Toán 10 - Cánh diều

Tam thức bậc hai là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong chương Hàm số và đồ thị. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai, tìm khoảng giá trị của hàm số và nhiều ứng dụng thực tế khác.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

2. Nghiệm của tam thức bậc hai

Nghiệm của tam thức bậc hai là giá trị của x sao cho f(x) = 0. Để tìm nghiệm của tam thức bậc hai, chúng ta giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0. Phương trình này có thể có các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.
• Trường hợp 2: Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = -b/2a.
• Trường hợp 3: Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.

3. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và dấu của Δ. Chúng ta có thể xét các trường hợp sau:

1. Nếu a > 0 và Δ > 0: Tam thức bậc hai dương khi x < x₁ hoặc x > x₂, âm khi x₁ < x < x₂.
2. Nếu a > 0 và Δ = 0: Tam thức bậc hai dương khi x ≠ x₁, âm khi x = x₁.
3. Nếu a > 0 và Δ < 0: Tam thức bậc hai luôn dương với mọi x.
4. Nếu a < 0 và Δ > 0: Tam thức bậc hai âm khi x < x₁ hoặc x > x₂, dương khi x₁ < x < x₂.
5. Nếu a < 0 và Δ = 0: Tam thức bậc hai âm khi x ≠ x₁, dương khi x = x₁.
6. Nếu a < 0 và Δ < 0: Tam thức bậc hai luôn âm với mọi x.

4. Ví dụ minh họa

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, c = 2. Tính Δ = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy phương trình 2x² - 5x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1/2 và x₂ = 2. Vì a = 2 > 0, nên tam thức bậc hai dương khi x < 1/2 hoặc x > 2, âm khi 1/2 < x < 2.

5. Bài tập áp dụng

Hãy xác định dấu của các tam thức bậc hai sau:

• f(x) = x² - 4x + 3
• f(x) = -x² + 2x - 1
• f(x) = 3x² + x + 1

6. Kết luận

Bài học về dấu của tam thức bậc hai cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản và quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai và hàm số bậc hai. Việc nắm vững lý thuyết và thực hành giải nhiều bài tập sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về chủ đề này.