Bài 4. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng - Giải chi tiết

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình:

• Đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0
• Đường thẳng d2: a2x + b2y + c2 = 0

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2, ta xét hệ số a1, b1, a2, b2:

1. Hai đường thẳng song song:a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2. Khi đó, hai đường thẳng không có điểm chung.
2. Hai đường thẳng trùng nhau:a1/a2 = b1/b2 = c1/c2. Khi đó, hai đường thẳng có vô số điểm chung.
3. Hai đường thẳng cắt nhau:a1/a2 ≠ b1/b2. Khi đó, hai đường thẳng có duy nhất một điểm chung.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Nếu hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau, góc θ giữa chúng được tính bởi công thức:

cos θ = |(a1a2 + b1b2)| / (√(a1² + b1²)√(a2² + b2²))

Lưu ý: Góc θ luôn nằm trong khoảng [0, 90°].

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách d từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 được tính bởi công thức:

d = |ax0 + by0 + c| / √(a² + b²)

Ví dụ minh họa

Cho hai đường thẳng:

• d1: 2x - y + 1 = 0
• d2: x + y - 3 = 0

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Ta có: 2/1 ≠ -1/1, suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

b) Tính góc giữa hai đường thẳng:

cos θ = |(2*1 + (-1)*1)| / (√(2² + (-1)²)√(1² + 1²)) = 1 / (√5 * √2) = 1 / √10 ≈ 0.316

θ ≈ arccos(0.316) ≈ 71.6°

c) Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2) đến đường thẳng d1:

d = |2*1 + (-1)*2 + 1| / √(2² + (-1)²) = |1| / √5 = 1 / √5 ≈ 0.447

Bài tập luyện tập

1. Cho hai đường thẳng d1: 3x + 4y - 5 = 0 và d2: 6x + 8y - 10 = 0. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.
2. Cho hai đường thẳng d1: x - 2y + 1 = 0 và d2: 2x + y - 3 = 0. Tính góc giữa hai đường thẳng.
3. Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0) đến đường thẳng d: 4x - 3y + 5 = 0.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về vị trí tương đối, góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Chúc các em học tập tốt!