Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác

Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác - SGK Toán 10 - Cánh diều

I. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

Trong hình học, giá trị lượng giác của một góc là tỷ số giữa các cạnh của một tam giác vuông. Đối với góc α từ 0 đến 180 độ, ta có các giá trị lượng giác cơ bản sau:

• Sin α (sin): Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.
• Cosin α (cos): Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
• Tang α (tan): Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh kề.
• Cotang α (cot): Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh đối.

Cần lưu ý rằng:

• 0 ≤ sin α ≤ 1 với 0 ≤ α ≤ 180
• -1 ≤ cos α ≤ 1 với 0 ≤ α ≤ 180

II. Định lý cosin

Định lý cosin là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác không vuông. Định lý phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

• a² = b² + c² - 2bc.cosA
• b² = a² + c² - 2ac.cosB
• c² = a² + b² - 2ab.cosC

Trong đó: a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, A, B, C là các góc đối diện với các cạnh tương ứng.

III. Định lý sin

Định lý sin cũng là một công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác. Định lý phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

Trong đó: a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, A, B, C là các góc đối diện với các cạnh tương ứng.

IV. Ứng dụng của các định lý

Các định lý cosin và sin được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Giải tam giác: Tìm các cạnh và góc còn thiếu của một tam giác khi biết một số thông tin nhất định.
• Tính khoảng cách: Tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.
• Ứng dụng trong vật lý: Giải các bài toán liên quan đến chuyển động, lực, và các hiện tượng vật lý khác.

V. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, góc BAC = 60 độ. Tính độ dài cạnh BC.

Giải: Áp dụng định lý cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosBAC

BC² = 5² + 7² - 2.5.7.cos60

BC² = 25 + 49 - 70.0.5 = 74 - 35 = 39

BC = √39 ≈ 6.24 cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = 8cm, góc B = 45 độ, góc C = 60 độ. Tính độ dài cạnh AB.

Giải: Tính góc A: A = 180 - B - C = 180 - 45 - 60 = 75 độ.

Áp dụng định lý sin, ta có:

AB/sinC = BC/sinA

AB = BC.sinC/sinA = 8.sin60/sin75 ≈ 8.0.866/0.966 ≈ 7.16 cm

VI. Kết luận

Bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ, định lý cosin và định lý sin. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.