Lý Thuyết Giá Trị Lượng Giác & Định Lý Cosin, Sin - Toán 10 Cánh Diều

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác - SGK Toán 10 Cánh diều

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ, Định lý Cosin và Định lý Sin trong tam giác - SGK Toán 10 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học về giá trị lượng giác, định lý cosin và định lý sin trong tam giác, thuộc chương trình Toán 10 Cánh Diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác và các góc lượng giác.

Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, tính chất của các giá trị lượng giác, cách áp dụng định lý cosin và định lý sin để tính các cạnh và góc trong tam giác.

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180 II. ĐỊNH LÍ COSIN III. ĐỊNH LÍ SIN

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180

1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

+) Với mỗi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha {\rm{\;}} \le {180^o})\) có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị để \(\widehat {xOM} = \alpha .\)Khi đó:

\(\sin \alpha {\rm{\;}} = {y_0}\) là tung độ của M

\(\cos \alpha {\rm{\;}} = {x_0}\) là hoành độ của M

\(\tan \alpha {\rm{\;}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha {\rm{\;}} \ne {90^o})\)

\(\cot \alpha {\rm{\;}} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha {\rm{\;}} \ne {0^o},\alpha {\rm{\;}} \ne {180^o})\)

2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Hai góc bù nhau, \(\alpha \) và \({180^o} - \alpha \):

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha }\\{\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \cos \alpha }\\{\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \tan \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o})}\\{\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \cot \alpha ({0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\end{array}\)

Hai góc phụ nhau, \(\alpha \) và \({90^o} - \alpha \):

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha }\\{\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha }\\{\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\\{\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\end{array}\)

3. Các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác - SGK Toán 10 Cánh diều 1

II. ĐỊNH LÍ COSIN

1. Định lí cosin

Trong tam giác ABC:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A}\\{{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B}\\{{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C}\end{array}\)

2. Hệ quả

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

III. ĐỊNH LÍ SIN

1. Định lí sin

Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\)

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

2. Hệ quả

Hệ quả

\(a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C\)

\(\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.\)

Khởi đầu mạnh mẽ cho hành trình chinh phục Toán THPT ngay từ lớp 10! Đừng bỏ qua Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác - SGK Toán 10 Cánh diều – nội dung đặc sắc nằm trong chuyên mục bài tập toán 10 tại nền tảng học toán. Bộ toán thpt bài tập được biên soạn kỹ lưỡng, bám sát chương trình chuẩn Toán lớp 10, không chỉ giúp học sinh củng cố vững chắc kiến thức nền tảng mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy logic và phản xạ giải toán hiệu quả. Với phương pháp học trực quan, sinh động và tiếp cận khoa học, tài liệu này sẽ là bước đệm hoàn hảo để các em định hình chiến lược học tập đúng đắn, sẵn sàng bứt phá trong các kỳ thi quan trọng và chinh phục cánh cửa đại học mơ ước.

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

Trong hình học, giá trị lượng giác của một góc là tỷ số giữa các cạnh của một tam giác vuông. Đối với góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta định nghĩa:

Sin α: Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.
Cos α: Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
Tan α: Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh kề.
Cot α: Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh đối.

Lưu ý:

sin(180° - α) = sin α
cos(180° - α) = -cos α
tan(180° - α) = -tan α
cot(180° - α) = -cot α

Định lý Cosin

Định lý Cosin là một công cụ mạnh mẽ để giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc ba cạnh.

Trong tam giác ABC, ta có:

a² = b² + c² - 2bc.cos A
b² = a² + c² - 2ac.cos B
c² = a² + b² - 2ab.cos C

Ứng dụng:

Tính độ dài một cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa.
Tính góc khi biết độ dài ba cạnh.

Định lý Sin

Định lý Sin liên hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác và sin của các góc đối diện.

Trong tam giác ABC, ta có:

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Ứng dụng:

Tính độ dài một cạnh khi biết một cạnh và các góc.
Tính góc khi biết độ dài các cạnh.

Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 8cm, góc A = 60°. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lý Cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos A

BC² = 5² + 8² - 2.5.8.cos 60°

BC² = 25 + 64 - 80.0.5 = 49

BC = √49 = 7cm

Luyện tập

Cho tam giác ABC có BC = 7cm, AC = 10cm, góc C = 30°. Tính độ dài cạnh AB.
Cho tam giác DEF có DE = 6cm, EF = 8cm, DF = 10cm. Tính các góc của tam giác.
Một cột điện cao 10m, bóng đổ trên mặt đất dài 15m. Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất.

Kết luận

Hi vọng bài học này đã giúp bạn nắm vững lý thuyết giá trị lượng giác, định lý cosin và định lý sin trong tam giác. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.