Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai - SGK Toán 10 - Cánh diều

I. Giới thiệu chung

Trong chương trình Toán 10, việc giải phương trình là một kỹ năng quan trọng. Bài 5 này tập trung vào hai dạng phương trình thường gặp, đó là phương trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình chứa căn thức. Cả hai dạng này đều có thể được quy về phương trình bậc hai để giải quyết một cách dễ dàng hơn.

II. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

1. Lý thuyết

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình mà ẩn số xuất hiện ở mẫu thức của một hoặc nhiều phân thức. Để giải loại phương trình này, ta cần xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình, sau đó quy đồng mẫu số và giải phương trình bậc hai thu được. Cuối cùng, cần kiểm tra lại các nghiệm tìm được với ĐKXĐ ban đầu.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Giải phương trình 1/(x-1) + 2/(x+1) = 3

1. ĐKXĐ: x ≠ 1 và x ≠ -1
2. Quy đồng mẫu số: (x+1) + 2(x-1) = 3(x-1)(x+1)
3. Giải phương trình bậc hai: x + 1 + 2x - 2 = 3(x² - 1) => 3x - 1 = 3x² - 3 => 3x² - 3x - 2 = 0
4. Giải phương trình bậc hai: Sử dụng công thức nghiệm, ta tìm được x₁ và x₂
5. Kiểm tra nghiệm với ĐKXĐ: Loại bỏ các nghiệm không thỏa mãn ĐKXĐ.

III. Phương trình chứa căn thức

1. Lý thuyết

Phương trình chứa căn thức là phương trình mà ẩn số nằm dưới dấu căn thức. Để giải loại phương trình này, ta thường bình phương hai vế của phương trình để khử căn thức. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng việc bình phương hai vế có thể dẫn đến việc xuất hiện nghiệm ngoại lai, do đó cần kiểm tra lại các nghiệm tìm được.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Giải phương trình √(x+2) = x

1. Bình phương hai vế: x + 2 = x²
2. Giải phương trình bậc hai: x² - x - 2 = 0
3. Giải phương trình bậc hai: Sử dụng công thức nghiệm, ta tìm được x₁ = 2 và x₂ = -1
4. Kiểm tra nghiệm: Thay x₁ = 2 vào phương trình ban đầu, ta thấy phương trình thỏa mãn. Thay x₂ = -1 vào phương trình ban đầu, ta thấy phương trình không thỏa mãn (nghiệm ngoại lai).
5. Kết luận: Nghiệm duy nhất của phương trình là x = 2

IV. Bài tập luyện tập

1. Giải phương trình: 2/(x+3) + 1/(x-3) = 1
2. Giải phương trình: √(2x-1) = x-1
3. Giải phương trình: 1/(x-2) - 3/(x+2) = 2/(x² - 4)

V. Kết luận

Bài học hôm nay đã giúp các em hiểu rõ về hai dạng phương trình thường gặp và cách quy chúng về phương trình bậc hai để giải quyết. Việc nắm vững lý thuyết và thực hành thường xuyên sẽ giúp các em tự tin hơn trong việc giải các bài toán liên quan đến phương trình.