Bài 6. Tích vô hướng của hai vecto

Bài 6. Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 - Cánh diều

Bài 6 trong sách giáo khoa Toán 10 tập 1, chương trình Cánh diều, đi sâu vào khái niệm tích vô hướng của hai vectơ. Đây là một công cụ toán học mạnh mẽ, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán hình học và vật lý.

1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a và b. Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a.b, được định nghĩa là:

a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.

Nếu một trong hai vectơ a hoặc b là vectơ không, thì a.b = 0.

2. Tính chất của tích vô hướng

• a.b = b.a (Tính giao hoán)
• a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng vectơ)
• k(a.b) = (ka).b = a.(kb) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
• a.a = |a|²

3. Ứng dụng của tích vô hướng

Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và vật lý:

• Tính góc giữa hai vectơ:cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Nếu a.b = 0 thì a vuông góc với b.
• Tính độ dài của vectơ:|a| = √(a.a)
• Giải các bài toán hình học: Tính diện tích tam giác, chứng minh các tính chất hình học.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (2; 3) và b = (-1; 4). Tính a.b.

a.b = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(3; 4), C(5; 1). Tính góc BAC.

Ta có AB = (2; 2) và AC = (4; -1).

AB.AC = (2)(4) + (2)(-1) = 8 - 2 = 6

|AB| = √(2² + 2²) = √8 = 2√2

|AC| = √(4² + (-1)²) = √17

cos(BAC) = (AB.AC) / (|AB||AC|) = 6 / (2√2 * √17) = 3 / (√34) ≈ 0.5145

Vậy BAC ≈ 59.04^o

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tích vô hướng, các em cần luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tham khảo sách giáo khoa, sách bài tập và các nguồn tài liệu học tập trực tuyến để rèn luyện kỹ năng giải toán.

Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng sẽ giúp các em giải quyết hiệu quả các bài toán hình học và vật lý trong chương trình học.