Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết về Ba đường conic trong chương trình SGK Toán 10 Cánh diều tại toan9.edu.vn. Đây là một chủ đề quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức hình học giải tích nâng cao hơn.
Chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững các khái niệm, định nghĩa và tính chất của elip, hypebol và parabol.
A. Lý thuyết 1. Elip a) Định nghĩa elip
A. Lý thuyết
1. Elip
a) Định nghĩa elip
| Cho hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) cố định có khoảng cách \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực a > c. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của elip đó. |
b) Phương trình chính tắc của elip
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b > 0. Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\), \({F_2}(\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a. |
2. Hypebol
a) Định nghĩa hypebol
| Cho hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) cố định có khoảng cách \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực dương a < c. Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\) được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của hypebol đó. |
b) Phương trình chính tắc của hypebol
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > 0, b > 0. Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0)\), \({F_2}(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a. |
3. Parabol
a) Định nghĩa parabol
| Cho một điểm F cố định và một đường thẳng \(\Delta \) cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và \(\Delta \) được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, \(\Delta \) được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến \(\Delta \) được gọi là tham số tiêu của parabol đó. |
b) Phương trình chính tắc của parabol
Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên \(\Delta \). Khi đó, trong hệ trục tọa độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) (với p > 0). Ngược lại, mỗi phương trình trên là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(x + \frac{p}{2} = 0\). |
4. Một số ứng dụng thực tiễn của ba đường conic
Ba đường conic có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Ta nêu ra một vài ứng dụng của ba đường conic.
- Năm 1911, nhà vật lý học người Anh là Ernest Rutherford (1871 – 1937) đã đề xuất mô hình hành tinh nguyên tử, trong đó hạt nhân nhỏ bé nằm tại tâm của nguyên tử, còn các electron bay quanh hạt nhân trên các quỹ đạo hình elip như các hành tinh bay quanh Mặt Trời.
- Trong vật lý, hiện tượng hai sóng gặp nhau tạo nên các gọn sóng ổn định gọi là hiện tượng giao thoa của hai sóng. Các gọn sóng có hình các đường hyperbol gọi là các vân giao thoa.
- Với gương parabol, tia sáng phát ra từ tiêu điểm (tia tối) chiếu đến một điểm của parabol sẽ bị hất lại (tia phản xạ) theo một tia song song (hoặc trùng) với trục của parabol.
Tính chất trên có nhiều ứng dụng, chẳng hạn:
- Đèn pha: Bề mặt của đèn pha là một mặt tròn xoay sinh bởi một cung parabol quay quanh trục của nó, bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol đó. Các tia sáng phát ra từ bóng đèn khi chiếu đến bề mặt của đèn pha sẽ bị hất lại theo các tia sáng song song, cho phép chúng ta quan sát được các vật ở xa.
- Chảo vệ tinh cũng có dạng như đèn pha. Điểm thu và phát tín hiệu của máy được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol.
B. Bài tập
Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của elip?
a) \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = - 1\)
c) \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)
d) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)
Giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b > 0 nên chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của elip.
Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của hypebol?
a) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = - 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1\)
c) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1\)
d) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)
Giải:
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > 0, b > 0 nên các trường hợp b), c), d) là phương trình chính tắc của hypebol.
Bài 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của parabol?
a) \({y^2} = - 6x\)
b) \({y^2} = 6x\)
c) \({y^2} = - 6y\)
d) \({y^2} = 6y\)
Giải:
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\), với p > 0 nên chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của parabol.
Bài 4: Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.
Giải:
Ta có: \({a^2} = 25\), \({b^2} = 16\). Do đó \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3\). Vậy elip có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 3;0)\), \({F_2}(3;0)\) và tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 6\). Ta có \(a = \sqrt {25} = 5\) nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a = 10.
Bài 5: Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?
Giải:
Ta có: \({a^2} = 9\), \({b^2} = 16\). Do đó \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\). Vậy hypebol có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 5;0)\), \({F_2}(5;0)\) và tiêu cự là \(2c = 10\). Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng \(2a = 2\sqrt 9 = 6\).
Bài 6: Cho parabol (P): \({y^2} = x\).
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \) của (P).
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.
Giải:
a) Ta có \(2p = 1\) nên \(p = \frac{1}{2}\).
Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x = - \frac{1}{4}\).
b) Điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi \({y_0}^2 = {x_0}\) và MF = 3. Do \(MF = d(M,\Delta )\) nên \(d(M,\Delta ) = 3\).
Mặt khác \(\Delta :x = - \frac{1}{4}\) và \({x_0} = {y_0}^2 \ge 0\) nên \(3 = d(M,\Delta ) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}\).
Vậy \({x_0} = \frac{{11}}{4}\) và \({y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\) hoặc \({y_0} = - \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).
Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán với tọa độ là \(\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\).
Bài 7: Lập phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là \({F_2}(5;0)\) và đi qua điểm M(0;3).
Giải:
Elip (E) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0).
Do \({F_2}(5;0)\) là một tiêu điểm của (E) nên c = 5.
Điểm M(0;3) nằm trên (E) nên \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Do đó \({b^2} = 9\).
Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 9 + 25 = 34\).
Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Bài 8: Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là \({F_2}(6;0)\) và đi qua điểm A(4;0).
Giải:
Hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > 0, b > 0).
Do \({F_2}(6;0)\) là một tiêu điểm của (H) nên c = 6.
Điểm A(4;0) nằm trên (H) nên \(\frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Do đó \({a^2} = 16\).
Suy ra \({b^2} = {c^2} - {a^2} = {6^2} - 16 = 20\).
Vậy hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).
Bài 9: Lập phương trình chính tắc của parabol (P), biết:
a) (P) có tiêu điểm là F(5;0).
b) (P) đi qua điểm M(2;1).
Giải:
Parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = 2px\) (p > 0).
a) Do F(5;0) là tiêu điểm của (P) nên \(\frac{p}{2} = 5\), tức là p = 10.
Vậy parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = 20x\).
b) M(2;1) nằm trên (P) nên \({1^2} = 2p.2\), tức \(p = \frac{1}{4}\).
Vậy parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = \frac{x}{2}\).
Ba đường conic, bao gồm elip, hypebol và parabol, là những đường cong quan trọng trong hình học giải tích. Chúng được định nghĩa dựa trên một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Việc hiểu rõ lý thuyết về ba đường conic là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến quỹ đạo của vật thể, thiết kế các công trình kiến trúc và nhiều ứng dụng thực tế khác.
Định nghĩa: Elip là tập hợp tất cả các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (tiêu điểm) là một hằng số (2a, với a là bán trục lớn).
Phương trình chính tắc:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (với a > b > 0)
Định nghĩa: Hypebol là tập hợp tất cả các điểm M sao cho trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (tiêu điểm) là một hằng số (2a, với a > 0).
Phương trình chính tắc:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
Định nghĩa: Parabol là tập hợp tất cả các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến một điểm cố định F (tiêu điểm) bằng khoảng cách từ M đến một đường thẳng cố định Δ (đường chuẩn).
Phương trình chính tắc:y^2 = 2px (với p > 0)
Để vẽ một đường conic, cần xác định các yếu tố sau:
Ba đường conic có nhiều ứng dụng trong thực tế:
Để củng cố kiến thức về ba đường conic, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Ba đường conic trong chương trình SGK Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
