Bài 5. Phương trình đường tròn

Bài 5. Phương trình đường tròn - SGK Toán 10 - Cánh diều

I. Giới thiệu chung về đường tròn

Đường tròn là một trong những hình cơ bản và quan trọng trong hình học. Trong mặt phẳng tọa độ, đường tròn được xác định bởi tâm và bán kính. Bài học này sẽ tập trung vào việc tìm hiểu phương trình của đường tròn, một công cụ mạnh mẽ để mô tả và phân tích các tính chất của đường tròn.

II. Phương trình chính tắc của đường tròn

Phương trình chính tắc của đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R được biểu diễn như sau:

(x - a)² + (y - b)² = R²

Trong đó:

• (x; y) là tọa độ của một điểm bất kỳ nằm trên đường tròn.
• (a; b) là tọa độ của tâm đường tròn.
• R là bán kính của đường tròn.

Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn có tâm I(2; -3) và bán kính R = 5.

Giải: Áp dụng công thức phương trình chính tắc, ta có:

(x - 2)² + (y + 3)² = 25

III. Phương trình tổng quát của đường tròn

Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng:

x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

Trong đó:

• a, b là các hệ số xác định tâm đường tròn.
• c là một hằng số.

Để xác định tâm và bán kính của đường tròn từ phương trình tổng quát, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định a và b: a = -A/2, b = -B/2 (với A và B là hệ số của x và y trong phương trình tổng quát).
2. Tính bán kính R: R = √(a² + b² - c).

Ví dụ 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0.

Giải:

• a = -(-4)/2 = 2
• b = -6/2 = -3
• R = √(2² + (-3)² - (-3)) = √(4 + 9 + 3) = √16 = 4

Vậy tâm của đường tròn là I(2; -3) và bán kính R = 4.

IV. Điều kiện để phương trình là phương trình đường tròn

Phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi:

a² + b² - c > 0

Nếu a² + b² - c = 0, phương trình biểu diễn một điểm (tâm đường tròn).

Nếu a² + b² - c < 0, phương trình không biểu diễn một đường tròn nào.

V. Bài tập vận dụng

Bài 1: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1; 4) và đi qua điểm A(2; 1).

Bài 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: x² + y² + 2x - 8y + 8 = 0.

Bài 3: Xác định giá trị của m để phương trình x² + y² - 2mx + 4my + 5m = 0 là phương trình của một đường tròn.

VI. Kết luận

Bài học về phương trình đường tròn là một bước quan trọng trong việc nắm vững kiến thức hình học tọa độ. Việc hiểu rõ phương trình chính tắc và phương trình tổng quát của đường tròn, cùng với điều kiện để một phương trình là phương trình đường tròn, sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.