Bài 5. Tích của vecto với một số

Bài 5. Tích của Vectơ với Một Số - SGK Toán 10 - Cánh Diều

Bài 5 trong sách giáo khoa Toán 10 tập 1, chương trình Cánh Diều, tập trung vào một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong hình học vectơ: tích của một vectơ với một số thực. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng để hiểu sâu hơn về các khái niệm và định lý liên quan đến vectơ trong các chương tiếp theo.

1. Định nghĩa Tích của Vectơ với Một Số

Cho vectơ a và một số thực k. Tích của vectơ a với số thực k, ký hiệu là k.a, là một vectơ được xác định như sau:

• Nếu k = 0 thì k.a = 0 (vectơ không).
• Nếu k > 0 thì k.a cùng hướng với a và có độ dài gấp k lần độ dài của a.
• Nếu k < 0 thì k.a ngược hướng với a và có độ dài gấp |k| lần độ dài của a.

Công thức tổng quát: k.a = k(x_a, y_a) = (k.x_a, k.y_a)

2. Tính chất của Tích Vectơ với Một Số

Tích của vectơ với một số thực tuân theo các tính chất sau:

1. (m + n).a = m.a + n.a
2. m.(a + b) = m.a + m.b
3. m.(n.a) = (m.n).a
4. 1.a = a
5. (-1).a = -a

Các tính chất này giúp đơn giản hóa các phép toán với vectơ và số thực, đồng thời là cơ sở để chứng minh các định lý liên quan.

3. Ứng dụng của Tích Vectơ với Một Số

Tích của vectơ với một số thực có nhiều ứng dụng trong hình học và vật lý, bao gồm:

• Biểu diễn các phép biến hình: Phép co giãn, phép vị tự.
• Tính toán lực tác dụng lên một vật thể.
• Xác định hướng của các vectơ.
• Giải các bài toán liên quan đến diện tích và thể tích.

4. Bài tập minh họa (SGK Toán 10 - Cánh Diều)

Bài 1: Cho hai vectơ a = (2, 3) và b = (-1, 4). Tính 3.a và -2.b.

Giải:

3.a = 3(2, 3) = (6, 9)

-2.b = -2(-1, 4) = (2, -8)

Bài 2: Cho điểm A(1, 2) và vectơ u = (3, -1). Tìm tọa độ điểm B sao cho AB = 2u.

Giải:

Gọi B(x, y). Ta có AB = (x - 1, y - 2) = 2(3, -1) = (6, -2)

Suy ra: x - 1 = 6 và y - 2 = -2

Vậy x = 7 và y = 0. Do đó, B(7, 0).

5. Kết luận

Bài 5 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản về tích của vectơ với một số thực. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và ứng dụng của khái niệm này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học vectơ một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào thực tế.