Giải Bài 1.31 Trang 33 Chuyên Đề Học Tập Toán 11 Kết Nối Tri Thức

Giải bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Toan9.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này.

Chúng tôi cung cấp không chỉ đáp án mà còn cả phương pháp giải, giúp bạn hiểu rõ bản chất của bài toán và áp dụng vào các bài tập tương tự.

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d.

Đề bài

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Hai điểm E, F thay đổi trên d sao cho \(\overrightarrow {EF} \) không đổi. Xác định vị trí của hai điểm E, F để AE + BF nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức 1

Dựa vào kiến thức đã học về phép biến hình để làm

Lời giải chi tiết

Giải bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức 2

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {EF} } \right| = m\,\,(m > 0)\) không đổi.

Đặt \(\vec u = \overrightarrow {EF\;} \left( {\vec u \ne \vec 0} \right),\,\vec u\) không đổi, khi đó \(\mid \overrightarrow u \mid = m\) không đổi.

Gọi G là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u\). Khi đó \(\overrightarrow {BG} = - \vec u\). Vì B cố định và \(\overrightarrow u \) không đổi nên G cố định. Gọi G' là ảnh của G qua phép đối xứng trục d thì G' cố định.

Gọi giao điểm của AG' và đường thẳng d là E, trên d lấy điểm F thỏa mãn EF = m và \(\overrightarrow {EF} = \vec u = - \overrightarrow {BG} \) hay \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {GB} \). Khi đó BGEF là hình bình hành nên BF = GE.

Mà G và G' đối xứng nhau qua d nên GE = G'E. Do đó BF = GE = G'E.

Ta có: AE + BF = AE + G'E = AG' (1).

Ta có E và F như trên là hai điểm cần tìm để AE + BF nhỏ nhất.

Thật vậy, gọi E' và F' là 2 điểm trên d, khác E và F sao cho \(\overrightarrow {E'F'} = \vec u\) và \(\left| {\overrightarrow {E'F'} } \right| = \left| {\vec u} \right| = m\).

Ta có: AE' + BF' = AE' + GE' = AE' + G'E' > AG' (2) (bất đẳng thức trong tam giác AG'E').

Từ (1) và (2) suy ra AE + BF < AE' + BF'. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Giải bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục toán 11 trên nền tảng tài liệu toán. Bộ bài tập toán thpt được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Giải bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Vẽ đồ thị của hàm số.

1. Tính đạo hàm f'(x)

Để tính đạo hàm f'(x), ta áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm đa thức:

f'(x) = 3x² - 6x

2. Tìm các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Để xác định xem các điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định:

Khi x < 0, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Khi 0 < x < 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
Khi x > 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.

Từ đó, ta kết luận:

x = 0 là điểm cực đại, f(0) = 2.
x = 2 là điểm cực tiểu, f(2) = -2.

3. Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Dựa vào dấu của f'(x) và các điểm cực trị, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là -2.

4. Vẽ đồ thị của hàm số

Để vẽ đồ thị của hàm số, ta cần xác định:

Các điểm cực trị: (0; 2) và (2; -2).
Giao điểm với trục Oy: (0; 2).
Giao điểm với trục Ox: Giải phương trình x³ - 3x² + 2 = 0. Ta thấy x = 1 là một nghiệm, do đó ta có thể phân tích thành (x - 1)(x² - 2x - 2) = 0. Vậy, x = 1, x = 1 + √3, x = 1 - √3. Các giao điểm là (1; 0), (1 + √3; 0), (1 - √3; 0).

Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị của hàm số.

Kết luận: Bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập điển hình về khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Việc nắm vững phương pháp giải bài tập này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải các bài tập tương tự và hiểu sâu hơn về kiến thức đạo hàm.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập và có thể tự giải các bài tập tương tự. Toan9.edu.vn luôn đồng hành cùng các bạn trên con đường chinh phục môn Toán.