Giải Bài 1.25 Trang 31 Chuyên Đề Học Tập Toán 11 Kết Nối Tri Thức

Giải bài 1.25 trang 31 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 1.25 trang 31 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Toan9.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Chúng tôi luôn cập nhật lời giải các bài tập mới nhất, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(3x; – 3y).

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(3x; – 3y).

a) Tìm ảnh của các điểm O(0; 0), N(2; 1).

b) Chứng minh rằng f là một phép đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 1.25 trang 31 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức 1

Phép biến hình f gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M, N có ảnh lần lượt là M’, N’ ta có: \(M'N' = k.MN\)

Lời giải chi tiết

a) Ảnh của điểm O(0; 0) qua phép biến hình f là \(O'\left( {3{\rm{ }}.{\rm{ }}0;{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} \equiv {\rm{ }}O\left( {0;{\rm{ }}0} \right).\)

Ảnh của điểm N(2; 1) qua phép biến hình f là N'(3 . 2; – 3 . 1) = N'(6; – 3).

b) Chọn hai điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y} \right),{\rm{ }}N\left( {z;{\rm{ }}t} \right)\) bất kì. Gọi M', N' tương ứng là ảnh của M, N qua phép biến hình f. Khi đó \(M'\left( {3x;{\rm{ }}-{\rm{ }}3y} \right),{\rm{ }}N'\left( {3z;{\rm{ }}-{\rm{ }}3t} \right).\)

Ta có: \(MN{\rm{ }} = \sqrt {{{\left( {z - x} \right)}^2} + {{\left( {t - y} \right)}^2}} \)

\(M'N' = \sqrt {{{\left( {3z - 3x} \right)}^2} + {{\left( { - 3t - \left( { - 3y} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {9{{\left( {z - x} \right)}^2} + 9{{\left( {t - y} \right)}^2}} = 3\sqrt {{{(z - x)}^2} + {{(t - y)}^2}} \)Suy ra M'N' = 3MN.

Vậy phép biến hình f là phép đồng dạng với tỉ số k = 3.

Tự tin bứt phá Toán lớp 11 – nền tảng vững chắc mở lối vào giảng đường đại học! Khám phá ngay Giải bài 1.25 trang 31 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức, nội dung chiến lược thuộc chuyên mục Giải bài tập Toán 11 trên nền tảng đề thi toán. Bộ bài tập toán thpt được biên soạn công phu, bám sát chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức nâng cao, rèn luyện kỹ năng tư duy và giải toán hiệu quả. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang tính ứng dụng thực tế cao, tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành lý tưởng trên hành trình ôn luyện chuyên sâu. Đây chính là bước đệm quan trọng giúp các em phát triển toàn diện năng lực học tập và chinh phục mục tiêu học thuật dài hạn.

Giải bài 1.25 trang 31 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 1.25 trang 31 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải chi tiết

1. Tính đạo hàm f'(x)

Để tính đạo hàm f'(x), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số đa thức:

f'(x) = 3x² - 6x

2. Tìm các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Để xác định xem các điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định:

Khi x < 0, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Khi 0 < x < 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
Khi x > 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.

Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị là:

f(0) = 2
f(2) = 2³ - 3(2²) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

3. Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Dựa vào dấu của f'(x) và giá trị của hàm số tại các điểm cực trị, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, với giá trị là 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, với giá trị là -2.

4. Vẽ đồ thị của hàm số

Để vẽ đồ thị của hàm số, ta cần xác định các điểm đặc biệt như:

Điểm cực đại (0; 2)
Điểm cực tiểu (2; -2)
Giao điểm với trục Oy: (0; 2)
Giao điểm với trục Ox: Giải phương trình x³ - 3x² + 2 = 0. Ta thấy x = 1 là một nghiệm, do đó ta có thể phân tích thành (x - 1)(x² - 2x - 2) = 0. Vậy, x = 1 hoặc x = 1 ± √3. Các giao điểm với trục Ox là (1; 0), (1 + √3; 0), (1 - √3; 0).

Dựa vào các điểm này và sự biến thiên của hàm số, ta có thể vẽ được đồ thị của hàm số.

Kết luận

Bài 1.25 trang 31 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.