Bài 6. Phép vị tự

Bài 6. Phép vị tự - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Phép vị tự là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến sự tương đồng và đồng dạng của các hình.

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự với tâm O và tỉ số k (k ≠ 0) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho:

• OM' = |k| OM
• M', O, M thẳng hàng
• Nếu k > 0 thì M' cùng chiều với OM
• Nếu k < 0 thì M' ngược chiều với OM

Kí hiệu: V_O(k)(M) = M'

2. Tính chất của phép vị tự

Phép vị tự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Tức là, nếu M và N là hai điểm bất kỳ, thì M'N' = MN.

Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.

Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

3. Phép vị tự là một phép đồng dạng

Vì phép vị tự bảo toàn khoảng cách nên nó là một phép đồng dạng với tỉ số k.

4. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x; y) và tâm vị tự O(x₀; y₀). Khi đó, tọa độ điểm M'(x'; y') là:

x' = x₀ + k(x - x₀)

y' = y₀ + k(y - y₀)

5. Ứng dụng của phép vị tự

Phép vị tự được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến sự đồng dạng của các hình, đặc biệt là trong việc chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ, để chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng, ta có thể sử dụng phép vị tự để biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'.

6. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 4), C(5; 6). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự V_O(2) với O(0; 0).

Giải:

A'(x_A'; y_A') = (2(1 - 0); 2(2 - 0)) = (2; 4)

B'(x_B'; y_B') = (2(3 - 0); 2(4 - 0)) = (6; 8)

C'(x_C'; y_C') = (2(5 - 0); 2(6 - 0)) = (10; 12)

Vậy, A'(2; 4), B'(6; 8), C'(10; 12).

7. Kết luận

Bài học về phép vị tự đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ và ứng dụng của phép biến hình này. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán hình học trong chương trình Toán 11.

Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.