Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm

Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 11, chuyên đề về phép biến hình đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng kiến thức hình học không gian. Bài 4, tập trung vào phép quay và phép đối xứng tâm, là một bước tiến quan trọng trong việc hiểu rõ các phép biến đổi hình học và ứng dụng của chúng.

I. Phép quay

1. Định nghĩa: Phép quay tâm O với góc α (α đo theo độ, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc xOM = α + xOM (với x là một điểm cố định trên đường thẳng Ox).

2. Tính chất:

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ: Nếu M(x; y) và O(0; 0) thì M’(x’; y’) được tính bởi:

x’ = xcosα - ysinα

y’ = xsinα + ycosα

II. Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa: Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’.

2. Tính chất:

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ: Nếu M(x; y) và O(a; b) thì M’(x’; y’) được tính bởi:

x’ = 2a - x

y’ = 2b - y

III. Ứng dụng của phép quay và phép đối xứng tâm

Phép quay và phép đối xứng tâm có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học, như:

• Trong hình học: Chứng minh tính đối xứng của hình, giải các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách.
• Trong vật lý: Mô tả các chuyển động quay và đối xứng của vật thể.
• Trong đồ họa máy tính: Tạo ra các hiệu ứng hình ảnh đặc biệt.

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho điểm A(1; 2) và phép quay tâm O(0; 0) với góc 90° (chiều dương). Tìm tọa độ điểm A’.

Giải:

x’ = 1cos90° - 2sin90° = -2

y’ = 1sin90° + 2cos90° = 1

Vậy A’(-2; 1).

Bài 2: Cho điểm B(3; -1) và phép đối xứng tâm I(1; 2). Tìm tọa độ điểm B’.

Giải:

x’ = 2(1) - 3 = -1

y’ = 2(2) - (-1) = 5

Vậy B’(-1; 5).

V. Kết luận

Bài học về phép quay và phép đối xứng tâm đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về hai phép biến hình này. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của chúng sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và sáng tạo. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.