Bài 1. Phép biến hình

I. Giới thiệu chung về phép biến hình

Trong hình học, phép biến hình là một sự biến đổi các điểm trong mặt phẳng sao cho mỗi điểm ban đầu được ánh xạ tới một điểm mới. Phép biến hình đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất hình học và giải quyết các bài toán liên quan đến sự tương đương giữa các hình.

1. Định nghĩa phép biến hình

Một phép biến hình f trong mặt phẳng là một quy tắc xác định tương ứng mỗi điểm M trong mặt phẳng với một điểm M' duy nhất, ký hiệu là M' = f(M).

2. Các loại phép biến hình cơ bản

• Phép tịnh tiến: Biến đổi mỗi điểm theo một vectơ cho trước.
• Phép quay: Biến đổi mỗi điểm quanh một tâm cho trước theo một góc cho trước.
• Phép đối xứng qua một đường thẳng: Biến đổi mỗi điểm sao cho đường thẳng đó là đường trung trực của đoạn thẳng nối điểm gốc và điểm ảnh.
• Phép đối xứng qua một điểm: Biến đổi mỗi điểm sao cho điểm đó là trung điểm của đoạn thẳng nối điểm gốc và điểm ảnh.

II. Phép tịnh tiến

1. Định nghĩa phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến theo vectơ v là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM' = v.

2. Tính chất của phép tịnh tiến

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó.

3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Nếu v = (a; b) và M(x; y) thì M'(x + a; y + b).

III. Phép quay

1. Định nghĩa phép quay

Phép quay tâm O góc α là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và góc xOM = α.

2. Tính chất của phép quay

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép quay

Nếu O(0; 0) và M(x; y) thì M'(x cos α - y sin α; x sin α + y cos α).

IV. Phép đối xứng qua một đường thẳng

1. Định nghĩa phép đối xứng qua một đường thẳng

Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.

2. Tính chất của phép đối xứng qua một đường thẳng

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua một đường thẳng

(Công thức phức tạp, cần xem sách giáo khoa để hiểu rõ)

V. Phép đối xứng qua một điểm

1. Định nghĩa phép đối xứng qua một điểm

Phép đối xứng qua điểm I là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM'.

2. Tính chất của phép đối xứng qua một điểm

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua một điểm

Nếu I(a; b) và M(x; y) thì M'(2a - x; 2b - y).

VI. Bài tập vận dụng

1. Cho điểm A(1; 2) và vectơ v = (3; -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
2. Cho điểm B(2; -3) và tâm quay O(0; 0), góc quay 90°. Tìm tọa độ điểm B' là ảnh của B qua phép quay tâm O góc 90°.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phép biến hình. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.