Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 34, 35, 36, 37, 38 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức trên toan9.edu.vn. Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu nhất để giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt trong học tập.
Bài viết này sẽ trình bày đầy đủ các bước giải, phân tích kỹ lưỡng từng dạng bài tập, giúp các em hiểu sâu sắc về nội dung chuyên đề.
Một người đánh cá đang ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông trên đường bờ biển thẳng theo phương bắc nam. Nhà anh ấy nằm bên bờ biển, cách vị trí điểm P khoảng 6 km về phía bắc. Anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc 3 km/h và đi bộ với vận tốc 5 km/h (giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể so với vận tốc mà người đánh cá chèo thuyền). Anh ấy dự kiến sẽ chèo thuyền thẳng đến một điểm Q đâu đó trên bờ biển về phía bắc điểm P, với 0 ≤ PQ ≤ 6 (km), rồi đi bộ quãng
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 34 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
Một người đánh cá đang ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông trên đường bờ biển thẳng theo phương bắc nam. Nhà anh ấy nằm bên bờ biển, cách vị trí điểm P khoảng 6 km về phía bắc. Anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc 3 km/h và đi bộ với vận tốc 5 km/h (giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể so với vận tốc mà người đánh cá chèo thuyền). Anh ấy dự kiến sẽ chèo thuyền thẳng đến một điểm Q đâu đó trên bờ biển về phía bắc điểm P, với 0 ≤ PQ ≤ 6 (km), rồi đi bộ quãng đường còn lại để về nhà.
a) Hãy chọn các kí hiệu cho các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết trong bài toán trên.
b) Tìm các mối quan hệ giữa các kí hiệu trong câu a).
c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?
d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm Q, rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?
Phương pháp giải:
Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.
Lời giải chi tiết:
a) Kí hiệu v1 là vận tốc chèo thuyền (v1 = 3 km/h) và v2 là vận tốc đi bộ (v2 = 5 km/h).
Kí hiệu S1, v1 là quãng đường và vận tốc chèo thuyền của người đánh cá khi chèo thuyền.
Kí hiệu S2, v2 là quãng đường và vận tốc của người đánh cá khi đi bộ dọc bờ biển.
Ta có: v1 = 3 km/h, v2 = 5 km/h.
Đặt \(PQ{\rm{ }} = {\rm{ }}x\) (km), \(x \in \left[ {0;6} \right]\).
b) Ta có: \({S_2} = BQ = 6 - x{\rm{ }}(km)\)
Vì tam giác APQ vuông tại P nên \({S_1} = AQ = \sqrt {A{P^2} + P{Q^2}} = \sqrt {4 + {x^2}} .\)
c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết
\(t = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{2}{3} + \frac{6}{5} = \frac{{28}}{{15}}\) (giờ)
d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến Q rồi đi bộ về nhà thì hết
\(t = {t_{AQ}} + {t_{QB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{3} + \frac{{6 - x}}{5}\) (giờ)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
Gọi \({v_{kk}}\) là vận tốc ánh sáng trong không khí và \({v_n}\) là vận tốc ánh sáng trong nước. Theo nguyên lí Fermat, một tia sáng di chuyển từ một điểm A trong không khí đến một điểm B trong nước theo đường gấp khúc APB sao cho tổng thời gian di chuyển là nhỏ nhất (Hình 2.13). Vận dụng đạo hàm tìm vị trí cực trị của hàm số T(x) (tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB) để chứng tỏ rằng khi T(x) nhỏ nhất thì góc tới i và góc khúc xạ r thỏa mãn phương trình \(\frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}\).
Phương trình này được gọi là Định luật Snell.
Phương pháp giải:
Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.
Lời giải chi tiết:
Từ hình vẽ, với 0 ≤ x ≤ c ta có: \(AP = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \) và \(PB = \sqrt {{b^2} + {{(c - x)}^2}} .\)
Thời gian ánh sáng di chuyển từ A đến P là: \({t_1} = \frac{{AP}}{{{v_{kk}}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{{v_{kk}}}}.\) .
Thời gian ánh sáng di chuyển từ P đến B là: \({t_2} = \frac{{PB}}{{{v_n}}} = \frac{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}{{{v_n}}}.\)
Khi đó, tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB là:
\(T\left( x \right) = {t_1} + {t_2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{{v_{kk}}}} + \frac{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}{{{v_n}}},0 \le x \le c.\)
Đạo hàm của hàm T(x) là: \(T'\left( x \right) = \frac{x}{{{v_{kk}}\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} - \frac{{c - x}}{{{v_n}\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}.\)
Ta có
\(\begin{array}{l}T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{{v_{kk}}\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = \frac{{c - x}}{{{v_n}\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}.\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{v_{kk}}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = \frac{1}{{{v_n}}} \cdot \frac{{c - x}}{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{v_{kk}}}}\sin i = \frac{1}{{{v_n}}}\sin r \Leftrightarrow \frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}.\end{array}\)
Giả sử x = x0 thỏa mãn \(\frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}\)
Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:
\(T\left( 0 \right) = \frac{a}{{{v_{kk}}}} + \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{{v_n}}};\,\,T\left( {{x_0}} \right) = \frac{{\sqrt {{a^2} + x_0^2} }}{{{v_{kk}}}} + \frac{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - {x_0}} \right)}^2}} }}{{{v_n}}};\,\,T\left( c \right) = \frac{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}{{{v_{kk}}}} + \frac{b}{{{v_n}}}.\)
Ta có T(x0) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị T(0), T(x0), T(c).
Vậy T(x) nhỏ nhất khi góc tới i và góc khúc xạ r thỏa mãn phương trình \(\frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
Một vật được ném từ mặt đất lên trời xiên góc \(\alpha \) với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu \({v_0}\; = 9{\rm{ }}m/s\)(Hình 2.10). Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) , ở đó x (mét) là khoảng cách vật bay được theo phương ngang từ điểm ném, y (mét) là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, g là gia tốc trọng trường (theo Vật lí đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016).
a) Tính độ cao nhất của vật trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà vật đạt được độ cao đó (giả sử gia tốc trọng trường là g = 9,8 m/s2).
b) Xác định góc ném α để tầm ném xa của vật đạt giá trị lớn nhất.
Phương pháp giải:
Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.
Lời giải chi tiết:
a) Vì quỹ đạo chuyển động của vật có dạng hàm số bậc 2 đối với biến x có đồ thị là một parabol có bề lõi quay xuống dưới. Độ cao nhất của vật trên quỹ đạo ứng với tung độ đỉnh cao nhất của parabol
Khi đó: \({x_p} = \frac{{ - \tan \alpha }}{{2.\frac{{ - g}}{{2.v_0^2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}}} = \sin \alpha .\cos \alpha .\frac{{v_0^2}}{g};{y_P} = {\sin ^2}\alpha .\frac{{v_0^2}}{{2g}}\)
Tại \({v_0} = 9\)(m/s), ta có độ cao lớn nhất của vật là: \({y_P} = {\sin ^2}\alpha .\frac{{405}}{{98}}\)
Thời điểm vật đạt được độ cao lớn nhất là: \(t = \frac{{{x_p}}}{{{v_0}.\cos \alpha }} = \frac{{{v_0}}}{g}\sin \alpha = \frac{{45}}{{49}}\sin \alpha \)
b) Tầm ném xa trong chuyển động ném xiên là:
\(L = 2{x_p} = \sin 2\alpha .\frac{{v_0^2}}{g} = \frac{{810}}{{98}}\sin 2\alpha \le \frac{{405}}{{49}}\).
Tầm ném xa đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{405}}{{49}}\) khi \(\sin 2\alpha = 1\) hay \(\alpha = \frac{\pi }{4}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 34 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
Một người đánh cá đang ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông trên đường bờ biển thẳng theo phương bắc nam. Nhà anh ấy nằm bên bờ biển, cách vị trí điểm P khoảng 6 km về phía bắc. Anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc 3 km/h và đi bộ với vận tốc 5 km/h (giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể so với vận tốc mà người đánh cá chèo thuyền). Anh ấy dự kiến sẽ chèo thuyền thẳng đến một điểm Q đâu đó trên bờ biển về phía bắc điểm P, với 0 ≤ PQ ≤ 6 (km), rồi đi bộ quãng đường còn lại để về nhà.
a) Hãy chọn các kí hiệu cho các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết trong bài toán trên.
b) Tìm các mối quan hệ giữa các kí hiệu trong câu a).
c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?
d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm Q, rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?
Phương pháp giải:
Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.
Lời giải chi tiết:
a) Kí hiệu v1 là vận tốc chèo thuyền (v1 = 3 km/h) và v2 là vận tốc đi bộ (v2 = 5 km/h).
Kí hiệu S1, v1 là quãng đường và vận tốc chèo thuyền của người đánh cá khi chèo thuyền.
Kí hiệu S2, v2 là quãng đường và vận tốc của người đánh cá khi đi bộ dọc bờ biển.
Ta có: v1 = 3 km/h, v2 = 5 km/h.
Đặt \(PQ{\rm{ }} = {\rm{ }}x\) (km), \(x \in \left[ {0;6} \right]\).
b) Ta có: \({S_2} = BQ = 6 - x{\rm{ }}(km)\)
Vì tam giác APQ vuông tại P nên \({S_1} = AQ = \sqrt {A{P^2} + P{Q^2}} = \sqrt {4 + {x^2}} .\)
c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết
\(t = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{2}{3} + \frac{6}{5} = \frac{{28}}{{15}}\) (giờ)
d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến Q rồi đi bộ về nhà thì hết
\(t = {t_{AQ}} + {t_{QB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{3} + \frac{{6 - x}}{5}\) (giờ)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
Một vật được ném từ mặt đất lên trời xiên góc \(\alpha \) với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu \({v_0}\; = 9{\rm{ }}m/s\)(Hình 2.10). Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) , ở đó x (mét) là khoảng cách vật bay được theo phương ngang từ điểm ném, y (mét) là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, g là gia tốc trọng trường (theo Vật lí đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016).
a) Tính độ cao nhất của vật trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà vật đạt được độ cao đó (giả sử gia tốc trọng trường là g = 9,8 m/s2).
b) Xác định góc ném α để tầm ném xa của vật đạt giá trị lớn nhất.
Phương pháp giải:
Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.
Lời giải chi tiết:
a) Vì quỹ đạo chuyển động của vật có dạng hàm số bậc 2 đối với biến x có đồ thị là một parabol có bề lõi quay xuống dưới. Độ cao nhất của vật trên quỹ đạo ứng với tung độ đỉnh cao nhất của parabol
Khi đó: \({x_p} = \frac{{ - \tan \alpha }}{{2.\frac{{ - g}}{{2.v_0^2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}}} = \sin \alpha .\cos \alpha .\frac{{v_0^2}}{g};{y_P} = {\sin ^2}\alpha .\frac{{v_0^2}}{{2g}}\)
Tại \({v_0} = 9\)(m/s), ta có độ cao lớn nhất của vật là: \({y_P} = {\sin ^2}\alpha .\frac{{405}}{{98}}\)
Thời điểm vật đạt được độ cao lớn nhất là: \(t = \frac{{{x_p}}}{{{v_0}.\cos \alpha }} = \frac{{{v_0}}}{g}\sin \alpha = \frac{{45}}{{49}}\sin \alpha \)
b) Tầm ném xa trong chuyển động ném xiên là:
\(L = 2{x_p} = \sin 2\alpha .\frac{{v_0^2}}{g} = \frac{{810}}{{98}}\sin 2\alpha \le \frac{{405}}{{49}}\).
Tầm ném xa đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{405}}{{49}}\) khi \(\sin 2\alpha = 1\) hay \(\alpha = \frac{\pi }{4}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
Gọi \({v_{kk}}\) là vận tốc ánh sáng trong không khí và \({v_n}\) là vận tốc ánh sáng trong nước. Theo nguyên lí Fermat, một tia sáng di chuyển từ một điểm A trong không khí đến một điểm B trong nước theo đường gấp khúc APB sao cho tổng thời gian di chuyển là nhỏ nhất (Hình 2.13). Vận dụng đạo hàm tìm vị trí cực trị của hàm số T(x) (tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB) để chứng tỏ rằng khi T(x) nhỏ nhất thì góc tới i và góc khúc xạ r thỏa mãn phương trình \(\frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}\).
Phương trình này được gọi là Định luật Snell.
Phương pháp giải:
Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.
Lời giải chi tiết:
Từ hình vẽ, với 0 ≤ x ≤ c ta có: \(AP = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \) và \(PB = \sqrt {{b^2} + {{(c - x)}^2}} .\)
Thời gian ánh sáng di chuyển từ A đến P là: \({t_1} = \frac{{AP}}{{{v_{kk}}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{{v_{kk}}}}.\) .
Thời gian ánh sáng di chuyển từ P đến B là: \({t_2} = \frac{{PB}}{{{v_n}}} = \frac{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}{{{v_n}}}.\)
Khi đó, tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB là:
\(T\left( x \right) = {t_1} + {t_2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{{v_{kk}}}} + \frac{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}{{{v_n}}},0 \le x \le c.\)
Đạo hàm của hàm T(x) là: \(T'\left( x \right) = \frac{x}{{{v_{kk}}\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} - \frac{{c - x}}{{{v_n}\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}.\)
Ta có
\(\begin{array}{l}T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{{v_{kk}}\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = \frac{{c - x}}{{{v_n}\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}.\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{v_{kk}}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = \frac{1}{{{v_n}}} \cdot \frac{{c - x}}{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{v_{kk}}}}\sin i = \frac{1}{{{v_n}}}\sin r \Leftrightarrow \frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}.\end{array}\)
Giả sử x = x0 thỏa mãn \(\frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}\)
Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:
\(T\left( 0 \right) = \frac{a}{{{v_{kk}}}} + \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{{v_n}}};\,\,T\left( {{x_0}} \right) = \frac{{\sqrt {{a^2} + x_0^2} }}{{{v_{kk}}}} + \frac{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - {x_0}} \right)}^2}} }}{{{v_n}}};\,\,T\left( c \right) = \frac{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}{{{v_{kk}}}} + \frac{b}{{{v_n}}}.\)
Ta có T(x0) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị T(0), T(x0), T(c).
Vậy T(x) nhỏ nhất khi góc tới i và góc khúc xạ r thỏa mãn phương trình \(\frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{v_{kk}}}}{{{v_n}}}\).
Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một phần quan trọng trong chương trình học Toán của học sinh lớp 12. Mục 1 của chuyên đề này thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập. Việc giải các bài tập trong mục này không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế.
Để hiểu rõ hơn về nội dung của mục 1 trang 34, 35, 36, 37, 38, chúng ta cần xem xét các bài tập cụ thể và phương pháp giải tương ứng. Dưới đây là phân tích chi tiết:
Bài tập này thường liên quan đến việc áp dụng một định lý hoặc công thức nào đó để giải quyết một vấn đề cụ thể. Để giải bài tập này, học sinh cần xác định đúng định lý hoặc công thức cần sử dụng, sau đó áp dụng nó vào bài toán một cách chính xác.
Bài tập này có thể yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức hoặc bất đẳng thức. Để giải bài tập này, học sinh cần sử dụng các kỹ năng biến đổi đại số và các tính chất của số học để chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức đó.
Bài tập này có thể liên quan đến việc giải phương trình hoặc hệ phương trình. Để giải bài tập này, học sinh cần sử dụng các phương pháp giải phương trình hoặc hệ phương trình đã học, chẳng hạn như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, hoặc phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài tập này có thể yêu cầu học sinh tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần sử dụng các phương pháp tìm cực trị của hàm số, chẳng hạn như phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp sử dụng bất đẳng thức.
Bài tập này có thể liên quan đến việc giải bài toán thực tế. Để giải bài tập này, học sinh cần phân tích bài toán, xác định các yếu tố quan trọng, và xây dựng mô hình toán học để giải quyết bài toán đó.
Để giải bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức một cách hiệu quả, học sinh cần:
Kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục 1 trang 34, 35, 36, 37, 38 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như:
Việc giải mục 1 trang 34, 35, 36, 37, 38 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bước quan trọng trong quá trình học tập Toán của học sinh lớp 12. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà toan9.edu.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập Toán và đạt kết quả tốt trong học tập.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
