Bài 4. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

I. Giới thiệu chung

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề về ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu đóng vai trò quan trọng. Chuyên đề này giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề thực tế bằng công cụ toán học. Bài 4 cụ thể tập trung vào việc vận dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hoặc tập số cho trước.

II. Các bước giải quyết bài toán tối ưu

1. Bước 1: Xác định hàm số cần tối ưu. Xác định rõ đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó dưới dạng hàm số f(x).
2. Bước 2: Tìm tập xác định của hàm số. Xác định khoảng hoặc tập số mà x có thể nhận giá trị.
3. Bước 3: Tính đạo hàm f'(x). Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số f(x).
4. Bước 4: Tìm các điểm dừng của hàm số. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0.
5. Bước 5: Xét dấu đạo hàm và xác định các điểm cực trị. Sử dụng bảng xét dấu đạo hàm để xác định các khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).
6. Bước 6: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của tập xác định. Tính f(x) tại các điểm cực trị và các điểm biên.
7. Bước 7: So sánh các giá trị và kết luận. So sánh các giá trị đã tính được để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 1 trên khoảng [-1; 3].

Giải:

• Bước 1: Hàm số cần tối ưu là f(x) = -x² + 4x + 1.
• Bước 2: Tập xác định là [-1; 3].
• Bước 3: f'(x) = -2x + 4.
• Bước 4: -2x + 4 = 0 => x = 2.
• Bước 5: Bảng xét dấu đạo hàm:

  x	-1	2	3
  f'(x)	+	-	-
  f(x)	Đồng biến	Nghịch biến	Nghịch biến

• Bước 6: f(-1) = -2, f(2) = 5, f(3) = -2.
• Bước 7: Giá trị lớn nhất của hàm số là 5 tại x = 2.

Ví dụ 2:

Một người nông dân muốn rào một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi người đó cần dùng bao nhiêu mét lưới để rào mảnh đất đó với chi phí thấp nhất?

Giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là x và y. Ta có xy = 100. Chu vi của mảnh đất là P = 2(x + y). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của P. Từ xy = 100 => y = 100/x. Thay vào P, ta được P(x) = 2(x + 100/x). Tiếp tục giải theo các bước như ví dụ 1 để tìm giá trị nhỏ nhất của P(x).

IV. Lưu ý khi giải bài toán tối ưu

• Luôn kiểm tra xem các điểm cực trị có thuộc tập xác định hay không.
• Chú ý đến các điểm biên của tập xác định.
• Đọc kỹ đề bài để xác định đúng đại lượng cần tối ưu.
• Sử dụng các công cụ tính toán (máy tính bỏ túi, phần mềm) để hỗ trợ tính toán.

V. Bài tập luyện tập

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [0; 3].
2. Một hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 2m³. Tìm kích thước của hình hộp để diện tích bề mặt của nó nhỏ nhất.