Giải bài 2.3 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một nhà máy hóa chất sản xuất hai hợp chất X và Y. Khi sản xuất một đơn vị hợp chất X sẽ có 2 dm³ khí CO (carbon monoxide) và 6 dm³ khí SO₂ (sulfur dioxide) phát tán ra môi trường. Khi sản xuất một đơn vị hợp chất Y sẽ có 4 dm³ khí CO và 3 dm³ khí SO₂ phát tán ra môi trường. Các yêu cầu về khí thải chỉ cho phép nhà máy phát thải ra môi trường mỗi tuần không quá 3 000 dm³ khí CO và không quá 5 400 dm³ khí SO₂. Nhà máy có thể bán hết tất cả các đơn vị hợp chất X và Y sản xuất ra với giá 36 000 đồng một đơn vị hợp chất X và 24 000 đồng một đơn vị hợp chất Y. Xác định số đơn vị hợp chất X và Y mỗi loại cần sản xuất trong một tuần để thu được lợi nhuận cao nhất mà vẫn đảm bảo các yêu cầu về khí thải môi trường.

Lời giải chi tiết

Gọi x và y lần lượt là số đơn vị hợp chất X và Y cần sản xuất.

Lợi nhuận thu được là: F(x; y) = 36 000x + 24 000y (đồng).

Ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,y \ge 0\\2{\rm{x}} + 4y \le 3{\rm{ }}000\\6{\rm{x}} + 3y \le {\rm{5 400}}\end{array} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền tứ giác OABC được tô màu như hình vẽ dưới đây:

Các điểm cực biên là: O(0; 0), A(0; 750), B(700; 400), C(900; 0).

Ta có:

F(0; 0) = 36 000.0 + 24 000.0 = 0;

F(0; 750) = 36 000.0 + 24 000.750 = 18 000 000;

F(700; 400) = 36 000.700 + 24 000.400 = 34 800 000;

F(900; 0) = 36 000.900 + 24 000.0 = 32 400 000.

Giá trị lớn nhất của F(x; y) bằng 34 800 tại điểm cực biên B(700; 400).

Vậy cần sản xuất 700 đơn vị hợp chất X và 400 đơn vị hợp chất Y trong một tuần để thu được lợi nhuận cao nhất mà vẫn đảm bảo các yêu cầu về khí thải môi trường.