Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề về biến ngẫu nhiên rời rạc đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng lý thuyết và kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế. Bài 2, tập trung vào biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng, là một phần không thể thiếu của chuyên đề này.

1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức

Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố nhị thức, ký hiệu là X ~ B(n, p), nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

• Thực hiện n phép thử độc lập.
• Mỗi phép thử chỉ có hai kết quả: thành công (S) và thất bại (F).
• Xác suất thành công trong mỗi phép thử là p (không đổi).

Trong đó:

• n: số lần thực hiện phép thử.
• p: xác suất thành công trong mỗi phép thử.

Biến ngẫu nhiên X biểu thị số lần thành công trong n phép thử.

2. Công thức tính xác suất

Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị k (k = 0, 1, 2, ..., n) được tính theo công thức:

P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^n-k

Trong đó:

• C_n^k: tổ hợp chập k của n.

3. Các số đặc trưng của phân bố nhị thức

• Giá trị kỳ vọng: E(X) = n * p
• Phương sai: Var(X) = n * p * (1 - p)
• Độ lệch chuẩn: σ(X) = √(n * p * (1 - p))

4. Ứng dụng của phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính xác suất một sản phẩm bị lỗi trong một lô hàng.
• Tính xác suất một người thành công trong một cuộc thi.
• Tính xác suất một bệnh nhân khỏi bệnh sau khi điều trị.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một đồng xu được tung 10 lần. Tính xác suất được 6 mặt ngửa.

Giải:

X ~ B(10, 0.5)

P(X = 6) = C₁₀⁶ * (0.5)⁶ * (0.5)⁴ = 210 * (0.5)¹⁰ ≈ 0.2051

Ví dụ 2: Một hộp chứa 20 bóng đèn, trong đó có 3 bóng bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 5 bóng đèn từ hộp. Tính xác suất có đúng 2 bóng bị hỏng.

Giải:

X ~ B(5, 3/20)

P(X = 2) = C₅² * (3/20)² * (17/20)³ ≈ 0.0548

6. Bài tập luyện tập

1. Một hộp chứa 10 quả bóng, trong đó có 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng từ hộp. Tính xác suất có đúng 2 quả màu đỏ.
2. Một người bắn súng vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu là 0.8. Người đó bắn 5 phát. Tính xác suất có ít nhất 4 phát trúng mục tiêu.
3. Một cuộc khảo sát được thực hiện trên 100 người. Xác suất một người ủng hộ một chính sách mới là 0.6. Tính xác suất có từ 55 đến 65 người ủng hộ chính sách mới.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và ứng dụng của nó. Chúc các em học tập tốt!