toan9.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi vào 10 môn Toán tỉnh Sơn La năm 2020 chính thức. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh lớp 9 ôn luyện và làm quen với cấu trúc đề thi, từ đó tự tin hơn trong kỳ thi tuyển sinh sắp tới.
Chúng tôi cung cấp đầy đủ các đề thi, đáp án chi tiết và phương pháp giải bài tập, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải đề.
Câu 1: Cho biểu thức:
Câu 1:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Câu 2:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
Câu 3:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\) b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\) c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\)
Câu 4:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Câu 5:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Câu 6:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
c) Dây cung \(EF\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(H\). Chứng minh \(AO\) là tia phân giác góc \(\angle EAF\).
Câu 1 (1,5 điểm)
Cách giải:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 4 \ne 0\\\sqrt x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\\sqrt x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)
Vậy biểu thức \(A\) xác định khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Điều kiện:\(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\, = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1.\end{array}\)
Vậy \(A = 1\) khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
Câu 2 (1,0 điểm)
Cách giải:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
+ Vẽ đồ thị hàm số.
Vẽ đường thẳng \(y = x + 2\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \(0\) | \( - 2\) |
\(y\) | \(2\) | \(0\) |
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = x + 2\) là đường thẳng đi qua các điểm \(\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2;0} \right)\).
Vẽ parabol \(y = {x^2}\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
\( \Rightarrow \) Parabol \(y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right)\), \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( {2;4} \right)\) và nhận trục \(Oy\) là trục đối xứng.
Vẽ đồ thị hàm số:
Cách 1:
Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).
Cách 2:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x + 2 = {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right)\).
Với \(x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4 \Rightarrow B\left( {2;4} \right)\).
Vậy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\).
Câu 3 (2,0 điểm)
Cách giải:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{x}{2} = 2020 - \dfrac{{2035}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{{2005}}{2}\\ \Leftrightarrow x = 2005.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2005.\)
b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = 2 + 6 = 8 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 2 + \sqrt 8 = \sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \\{x_2} = \sqrt 2 - \sqrt 8 = \sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,3\sqrt 2 } \right\}.\)
c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \(x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2.\dfrac{{3{x^2}}}{{x + 3}} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{{3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2} + 3x - 3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = t\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 7t - t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 7} \right) - \left( {t + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 7} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 7 = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 7\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(t = - 7\) ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = - 7\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = - 7x - 21\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 21 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = {7^2} - 4.21 = - 35 < 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
+) Với \(t = 1\) ta có:\(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 3 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = 1 + 4.3 = 13 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = \dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:\(S = \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2};\,\,\,\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}.\)
Câu 4 (1,0 điểm)
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\)có hai nghiệm dương thì:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) \ge 0\\ - 2\left( {m - 3} \right) > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - m + 1 \ge 0\\m - 3 < 0\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\m < 3\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\\1 < m < 3\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét bất phương trình \({m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 5m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) - 5\left( {m - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array}\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge 0\\m - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\).
Khi đó hệ (*) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\\1 < m < 3\end{array} \right. \Rightarrow 1 < m \le 2\).
Vậy \(1 < m \le 2\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Cách giải:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(x,\,\,y\) (mét) (ĐK: \(x > y > 2\)).
Vì diện tích mảnh vườn là \(480{m^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 480\,\,\left( 1 \right)\).
Nếu tăng chiều dài lên 8m thì chiều dài mới là \(x + 8\,\,\left( m \right)\).
giảm chiều rộng đi 2m thì chiều chiều rộng mới là \(y - 2\,\,\left( m \right)\).
Khi đó diện tích mảnh vườn không thy đổi nên ta có phương trình
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x + 8} \right)\left( {y - 2} \right) = 480\\ \Leftrightarrow xy - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 480 - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 2x - 8y = - 16\\ \Leftrightarrow x - 4y = - 8\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x - 4y = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4y - 8} \right).y = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{y^2} - 8y - 480 = 0\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y - 120 = 0\,\,\left( * \right)\\x = 4y - 8\end{array} \right.\)
Xét phương trình (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{y^2} - 2y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} - 12y + 10y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y - 12} \right) + 10\left( {y - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 12} \right)\left( {y + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 12 = 0\\y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = - 10\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(y = 12\) \( \Rightarrow x = 4.12 - 8 = 40\).
Vậy chu vi của mảnh vườn đó là \(C = 2\left( {x + y} \right) = 2\left( {40 + 12} \right) = 104\,\,\left( m \right)\).
Câu 6 (1,0 điểm)
Cách giải:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
Ta có: \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:
\(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow \angle ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
Ta có:\(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\)
\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}\)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} - O{B^2}} = \sqrt {9{R^2} - {R^2}} = 2\sqrt 2 R.\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BH\) ta có:
\(\begin{array}{l}BH = \dfrac{{OB.AB}}{{AO}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R.R}}{{3R}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3}.\\AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{8{R^2}}}{{3R}} = \dfrac{{8R}}{3}\\ \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}R.\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8R}}{3}.\dfrac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}\,\,\,\,\left( {dvdt} \right).\end{array}\)
Vậy khi \(OA = 3R\) thì \({S_{ABC}} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}.\)
Câu 1:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Câu 2:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
Câu 3:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\) b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\) c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\)
Câu 4:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Câu 5:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Câu 6:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
c) Dây cung \(EF\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(H\). Chứng minh \(AO\) là tia phân giác góc \(\angle EAF\).
Câu 1 (1,5 điểm)
Cách giải:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 4 \ne 0\\\sqrt x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\\sqrt x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)
Vậy biểu thức \(A\) xác định khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Điều kiện:\(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\, = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1.\end{array}\)
Vậy \(A = 1\) khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
Câu 2 (1,0 điểm)
Cách giải:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
+ Vẽ đồ thị hàm số.
Vẽ đường thẳng \(y = x + 2\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \(0\) | \( - 2\) |
\(y\) | \(2\) | \(0\) |
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = x + 2\) là đường thẳng đi qua các điểm \(\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2;0} \right)\).
Vẽ parabol \(y = {x^2}\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
\( \Rightarrow \) Parabol \(y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right)\), \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( {2;4} \right)\) và nhận trục \(Oy\) là trục đối xứng.
Vẽ đồ thị hàm số:
Cách 1:
Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).
Cách 2:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x + 2 = {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right)\).
Với \(x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4 \Rightarrow B\left( {2;4} \right)\).
Vậy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\).
Câu 3 (2,0 điểm)
Cách giải:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{x}{2} = 2020 - \dfrac{{2035}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{{2005}}{2}\\ \Leftrightarrow x = 2005.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2005.\)
b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = 2 + 6 = 8 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 2 + \sqrt 8 = \sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \\{x_2} = \sqrt 2 - \sqrt 8 = \sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,3\sqrt 2 } \right\}.\)
c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \(x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2.\dfrac{{3{x^2}}}{{x + 3}} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{{3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2} + 3x - 3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = t\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 7t - t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 7} \right) - \left( {t + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 7} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 7 = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 7\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(t = - 7\) ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = - 7\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = - 7x - 21\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 21 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = {7^2} - 4.21 = - 35 < 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
+) Với \(t = 1\) ta có:\(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 3 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = 1 + 4.3 = 13 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = \dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:\(S = \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2};\,\,\,\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}.\)
Câu 4 (1,0 điểm)
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\)có hai nghiệm dương thì:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) \ge 0\\ - 2\left( {m - 3} \right) > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - m + 1 \ge 0\\m - 3 < 0\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\m < 3\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\\1 < m < 3\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét bất phương trình \({m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 5m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) - 5\left( {m - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array}\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge 0\\m - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\).
Khi đó hệ (*) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\\1 < m < 3\end{array} \right. \Rightarrow 1 < m \le 2\).
Vậy \(1 < m \le 2\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Cách giải:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(x,\,\,y\) (mét) (ĐK: \(x > y > 2\)).
Vì diện tích mảnh vườn là \(480{m^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 480\,\,\left( 1 \right)\).
Nếu tăng chiều dài lên 8m thì chiều dài mới là \(x + 8\,\,\left( m \right)\).
giảm chiều rộng đi 2m thì chiều chiều rộng mới là \(y - 2\,\,\left( m \right)\).
Khi đó diện tích mảnh vườn không thy đổi nên ta có phương trình
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x + 8} \right)\left( {y - 2} \right) = 480\\ \Leftrightarrow xy - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 480 - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 2x - 8y = - 16\\ \Leftrightarrow x - 4y = - 8\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x - 4y = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4y - 8} \right).y = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{y^2} - 8y - 480 = 0\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y - 120 = 0\,\,\left( * \right)\\x = 4y - 8\end{array} \right.\)
Xét phương trình (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{y^2} - 2y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} - 12y + 10y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y - 12} \right) + 10\left( {y - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 12} \right)\left( {y + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 12 = 0\\y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = - 10\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(y = 12\) \( \Rightarrow x = 4.12 - 8 = 40\).
Vậy chu vi của mảnh vườn đó là \(C = 2\left( {x + y} \right) = 2\left( {40 + 12} \right) = 104\,\,\left( m \right)\).
Câu 6 (1,0 điểm)
Cách giải:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
Ta có: \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:
\(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow \angle ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
Ta có:\(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\)
\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}\)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} - O{B^2}} = \sqrt {9{R^2} - {R^2}} = 2\sqrt 2 R.\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BH\) ta có:
\(\begin{array}{l}BH = \dfrac{{OB.AB}}{{AO}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R.R}}{{3R}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3}.\\AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{8{R^2}}}{{3R}} = \dfrac{{8R}}{3}\\ \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}R.\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8R}}{3}.\dfrac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}\,\,\,\,\left( {dvdt} \right).\end{array}\)
Vậy khi \(OA = 3R\) thì \({S_{ABC}} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}.\)
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của mỗi học sinh. Việc chuẩn bị kỹ lưỡng, nắm vững kiến thức và làm quen với các dạng đề thi là yếu tố then chốt để đạt kết quả tốt. Đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020 là một nguồn tài liệu quý giá để các em học sinh có thể rèn luyện và nâng cao khả năng giải toán.
Đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Đề thi số 1 tập trung vào các kiến thức về đại số, đặc biệt là phương trình và hệ phương trình. Các bài toán yêu cầu học sinh phải vận dụng linh hoạt các công thức và kỹ năng giải toán để tìm ra đáp án chính xác. Điểm đặc biệt của đề thi này là có một số bài toán đòi hỏi học sinh phải suy luận logic và tư duy sáng tạo.
Đề thi số 2 chú trọng vào kiến thức về hình học, đặc biệt là tam giác và đường tròn. Các bài toán yêu cầu học sinh phải nắm vững các định lý và tính chất của tam giác và đường tròn để giải quyết. Đề thi này cũng có một số bài toán về tính diện tích và chu vi của các hình.
Để giải tốt đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020, các em học sinh cần:
Ngoài bộ đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020, các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Trước kỳ thi, hãy giữ tâm lý thoải mái, tự tin và có chế độ ăn uống, nghỉ ngơi hợp lý. Trong khi làm bài thi, hãy đọc kỹ đề thi, phân bổ thời gian hợp lý cho từng câu hỏi, và kiểm tra lại kết quả trước khi nộp bài. Chúc các em học sinh đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10!
| Dạng bài tập | Mức độ khó | Ví dụ |
|---|---|---|
| Phương trình bậc hai | Trung bình | Giải phương trình: x2 - 5x + 6 = 0 |
| Hệ phương trình | Khó | Giải hệ phương trình: x + y = 5 2x - y = 1 |
| Tam giác đồng dạng | Trung bình | Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài BC. |
Hy vọng với những thông tin và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ có thêm kiến thức và tự tin hơn trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sơn La năm 2020.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
