Chào mừng các em học sinh đến với Đề số 30 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán. Đây là một trong những đề thi thử quan trọng, được thiết kế để giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi chính thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi này bao gồm các dạng bài tập đa dạng, từ trắc nghiệm đến tự luận, bao phủ đầy đủ các kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 9.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 30 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề bài
Câu 1 (1 điểm):
Thực hiện phép tính: \(\left( {\sqrt 3 + 1} \right).\dfrac{{\sqrt 3 - 3}}{{2\sqrt 3 }}.\)
Câu 2 (1 điểm):
Cho hàm số \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 3 - 4x.\) Lập phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) song song với \(\left( d \right)\) và cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(M\) có hoành độ bằng \(2.\)
Câu 3 (1 điểm):
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \left( {1 - \dfrac{{2\sqrt x }}{{3\sqrt x + 1}} - \dfrac{{1 - 2\sqrt x }}{{1 - 9x}}} \right):\left( {\dfrac{{6\sqrt x + 5}}{{3\sqrt x + 1}} - 2} \right)\)\(\;\;\;\left( {x \ge 0,\;\;x \ne \dfrac{1}{9}} \right).\)
Câu 4 (1,5 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - x + m + 1 = 0\) (m là tham số).
a) Giải phương trình với \(m = - 3.\)
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2.\)
Câu 5 (1 điểm):
Một tam giác vuông có chu vi bằng 24 cm. Độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2 cm. Tính diện tích tam giác vuông đó.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3m, diện tích toàn phần bằng \(24\pi \,\,{m^2}\). Tính thể tích của hình nón.
Câu 7 (2,5 điểm)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AA’, BB’, CC’ của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AO cắt đường tròn tâm O tại D khác A.
a) Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp đường tròn.
b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HD và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.
c) Tính \(\dfrac{{AH}}{{AA'}} + \dfrac{{BH}}{{BB'}} + \dfrac{{CH}}{{CC'}}\).
Câu 8 (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = 3{x^2} + 4{y^2} + 4xy + 2x - 4y + 2021\)
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Thực hiện phép tính: \(\left( {\sqrt 3 + 1} \right).\dfrac{{\sqrt 3 - 3}}{{2\sqrt 3 }}.\)
\(\begin{array}{l}\;\;\;\left( {\sqrt 3 + 1} \right).\dfrac{{\sqrt 3 - 3}}{{2\sqrt 3 }}\\ = \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\dfrac{{\sqrt 3 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}{{2\sqrt 3 }}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {1 - 3} \right)}}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 }} = - 1.\end{array}\)
Câu 2:
Cho hàm số \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 3 - 4x.\) Lập phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) song song với \(\left( d \right)\) và cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(M\) có hoành độ bằng \(2.\)
Gọi phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right):\;\;y = ax + b.\)
Khi đó \(\left( \Delta \right)//\left( d \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b \ne 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( \Delta \right):\;\;y = - 4x + b.\)
Điểm \(M\) có hoành độ bằng \(2\) và thuộc đồ thị hàm số \(\left( P \right) \Rightarrow y = - \dfrac{1}{2}{.2^2} = - 2 \Rightarrow M\left( {2; - 2} \right).\)
Điểm \(M\left( {2; - 2} \right) \in \left( \Delta \right) \) \(\Rightarrow - 2 = - 4.2 + b \Leftrightarrow b = 6\;\;\left( {tm} \right).\)
Vậy phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right):\;\;y = - 4x + 6.\)
Câu 3:
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \left( {1 - \dfrac{{2\sqrt x }}{{3\sqrt x + 1}} - \dfrac{{1 - 2\sqrt x }}{{1 - 9x}}} \right):\left( {\dfrac{{6\sqrt x + 5}}{{3\sqrt x + 1}} - 2} \right)\;\;\;\left( {x \ge 0,\;\;x \ne \dfrac{1}{9}} \right).\)
\(\begin{array}{l}A = \left( {1 - \dfrac{{2\sqrt x }}{{3\sqrt x + 1}} - \dfrac{{1 - 2\sqrt x }}{{1 - 9x}}} \right):\left( {\dfrac{{6\sqrt x + 5}}{{3\sqrt x + 1}} - 2} \right)\;\;\;\left( {x \ge 0,\;\;x \ne \dfrac{1}{9}} \right)\\\;\;\; = \left( {1 - \dfrac{{2\sqrt x }}{{3\sqrt x + 1}} + \dfrac{{1 - 2\sqrt x }}{{\left( {3\sqrt x + 1} \right)\left( {3\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{6\sqrt x + 5 - 2\left( {3\sqrt x + 1} \right)}}{{3\sqrt x + 1}}} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{9x - 1 - 2\sqrt x \left( {3\sqrt x - 1} \right) + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {3\sqrt x + 1} \right)\left( {3\sqrt x - 1} \right)}}:\dfrac{{6\sqrt x + 5 - 6\sqrt x - 2}}{{3\sqrt x + 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{9x - 1 - 6x + 2\sqrt x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {3\sqrt x + 1} \right)\left( {3\sqrt x - 1} \right)}}.\dfrac{{3\sqrt x + 1}}{3}\\\;\;\; = \dfrac{{3x}}{{3\left( {3\sqrt x - 1} \right)}} = \dfrac{x}{{3\sqrt x - 1}}.\end{array}\)
Câu 4:
Cho phương trình \({x^2} - x + m + 1 = 0\) (m là tham số).
a) Giải phương trình với \(m = - 3.\)
Với \(m = - 3\) ta có phương trình: \({x^2} - x - 2 = 0\)
Ta có: \(a = 1;\;b = - 1;\;c = - 2\) \( \Rightarrow a - b + c = 1 + 1 - 2 = 0.\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = - 1;\;\;{x_2} = - \dfrac{c}{a} = 2.\)
Vậy với \(m = - 3\) phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 1;\;2} \right\}.\)
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2.\)
Phương trình có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\) \( \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \dfrac{3}{4}.\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = 4\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\\ \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m + 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 1 - 4m - 4 = 4\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{7}{4}\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)
Vậy \(m = - \dfrac{7}{4}\) thỏa mãn bài toán.
Câu 5:
Một tam giác vuông có chu vi bằng 24 cm. Độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2 cm. Tính diện tích tam giác vuông đó.
Gọi độ dài của cạnh góc vuông lớn của tam giác là \(x\;cm,\;\;\left( {2 < x \le 8} \right).\)
Khi đó độ dài cạnh góc vuông còn lại của tam giác là: \(x - 2\;\;\left( {cm} \right).\)
\( \Rightarrow \) Độ dài cạnh huyền của tam giác vuông là: \(24 - x - x + 2 = 26 - 2x\;\;\left( {cm} \right).\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông này ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\left( {26 - 2x} \right)^2} = {x^2} + {\left( {x - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 676 - 104x + 4{x^2} = 2{x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 100x + 672 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {x - 42} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 42 = 0\\x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 42\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 8\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Độ dài cạnh góc vuông còn lại của tam giác là: \(8 - 2 = 6\left( {cm} \right).\)
Vậy diện tích của tam giác vuông là: \(S = \dfrac{1}{2}.8.6 = 24\;c{m^2}.\)
Câu 6.
\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 24\pi \,\,{m^2} \Rightarrow \pi r\left( {r + l} \right) = 24\pi \\ \Leftrightarrow 3\left( {3 + l} \right) = 24 \Leftrightarrow l = 5\,\,\left( m \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Độ dài đường sinh của hình nón bằng 5 m.
\( \Rightarrow \) Độ dài đường cao của hình nón là \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\,\,\left( m \right)\).
Vậy thể tích của khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.3^2}.4 = 12\pi \,\,\left( {{m^3}} \right)\).
Câu 7.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AA’, BB’, CC’ của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AO cắt đường tròn tâm O tại D khác A.
a) Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp đường tròn.
Xét tứ giác AB’HC’ có \(\angle AB'H + \angle AC'H = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác AB’HC’ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HD và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.
Ta có \(\angle ABD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AB \bot BD\).
Mà \(CH \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow BD\parallel CH\)
Chứng minh tương tự ta có \(CD\parallel BH\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song)
Mà \(BC \cap HD = I\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow I\) là trung điểm của BC.
c) Tính \(\dfrac{{AH}}{{AA'}} + \dfrac{{BH}}{{BB'}} + \dfrac{{CH}}{{CC'}}\).
Ta có:
\(\dfrac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}HA'.BC}}{{\dfrac{1}{2}AA'.BC}} = \dfrac{{HA'}}{{AA'}} \)
\(\Rightarrow 1 - \dfrac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1 - \dfrac{{HA'}}{{AA'}} = \dfrac{{AA' - HA'}}{{AA'}} = \dfrac{{AH}}{{AA'}}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{{BH}}{{BB'}} = 1 - \dfrac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}};\,\,\dfrac{{CH}}{{CC'}} = 1 - \dfrac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AA'}} + \dfrac{{BH}}{{BB'}} + \dfrac{{CH}}{{CC'}} \)\(\;= 1 - \dfrac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + 1 - \dfrac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + 1 - \dfrac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} \)\(\;= 3 - \dfrac{{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} \)\(\;= 3 - 1 = 2\)
Câu 8.
\(\begin{array}{l}T = 3{x^2} + 4{y^2} + 4xy + 2x - 4y + 2021\\\;\;\; = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) + 2018\\\;\;\; = {\left( {x + 1} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + 2{\left( {x + y} \right)^2} + 2018 \ge 2018\\\left( {Do\,\,{{\left( {x + 1} \right)}^2} \ge 0;\,\,{{\left( {y - 1} \right)}^2} \ge 0;\,\,{{\left( {x + y} \right)}^2} \ge 0} \right)\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\y - 1 = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\).
Vậy \({T_{\min }} = 2018 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\).
Đề thi vào lớp 10 môn Toán là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em. Để đạt kết quả tốt nhất, việc luyện tập thường xuyên với các đề thi thử là vô cùng cần thiết. Đề số 30 mà toan9.edu.vn cung cấp được xây dựng dựa trên cấu trúc đề thi tuyển sinh của nhiều tỉnh thành trên cả nước, đảm bảo tính sát thực và hữu ích.
Đề thi Đề số 30 thường bao gồm các phần sau:
Nội dung đề thi Đề số 30 bao gồm các chủ đề chính sau:
toan9.edu.vn cung cấp đáp án và lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong đề thi Đề số 30. Các em có thể tham khảo để hiểu rõ phương pháp giải và tự kiểm tra kết quả của mình.
Ngoài Đề số 30, toan9.edu.vn còn cung cấp nhiều đề thi thử khác với các mức độ khó khác nhau. Các em có thể truy cập website để lựa chọn những đề thi phù hợp với trình độ của mình.
Để hỗ trợ các em ôn thi hiệu quả, toan9.edu.vn còn cung cấp các tài liệu ôn thi, bao gồm:
| Chủ đề | Nội dung chính |
|---|---|
| Phương trình bậc hai | Công thức nghiệm, điều kiện có nghiệm, ứng dụng. |
| Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Các hệ thức giữa cạnh và đường cao, ứng dụng. |
Chúc các em ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi vào lớp 10!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
