Chào mừng các em học sinh đến với Đề số 36 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán, một phần quan trọng trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Tại toan9.edu.vn, chúng tôi cung cấp đề thi chất lượng, bám sát cấu trúc đề thi chính thức và đi kèm với đáp án chi tiết.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em tự tin đối mặt với kỳ thi, đạt kết quả tốt nhất và thực hiện ước mơ vào những trường THPT mong muốn.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 36 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề bài
Câu 1 (2 điểm):
a) Tìm \(x\) để biểu thức sau có nghĩa: \(P = \sqrt {5x + 3} + 2018\sqrt[3]{x}.\)
b) Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}.\) Điểm \(D\) có hoành độ \(x = - 2\) thuộc đồ thị hàm số. Tìm tọa độ điểm \(D.\)
c) Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(d:\;\;y = ax + b - 1\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\;1} \right)\) và \(B\left( {2;\;3} \right).\)
Câu 2 (2,0 điểm):
Cho biểu thức: \(P = \dfrac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\) (với \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Chứng minh rằng \(P \le 1.\)
Câu 3 (2,0 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - 4mx + 4{m^2} - 2 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)
a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 1.\)
b) Chứng minh rằng với mọi \(m\) phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Giả sử hai nghiệm là \({x_1},\;{x_2}\) khi đó tìm \(m\) để \(x_1^2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0.\)
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Dựng AH vuông góc với BD tại điểm H, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AN = AB.AM.
c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
d) Cho AB = 6cm, AD = 8cm. Tính độ dài đoạn MN.
Câu 5 (0,5 điểm): Giải phương trình: \(3\sqrt 3 \left( {{x^2} + 4x + 2} \right) - \sqrt {x + 8} = 0.\)
Lời giải chi tiết
Câu 1:
a) Tìm \(x\) để biểu thức sau có nghĩa: \(P = \sqrt {5x + 3} + 2018\sqrt[3]{x}.\)
Biểu thức có nghĩa \( \Leftrightarrow 5x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{3}{5}.\)
Vậy với \(x \ge - \dfrac{3}{5}\) thì biểu thức \(P\) có nghĩa.
b) Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}.\) Điểm \(D\) có hoành độ \(x = - 2\) thuộc đồ thị hàm số. Tìm tọa độ điểm \(D.\)
Điểm \(D\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) và có hoành độ \(x = - 2 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}.{\left( { - 2} \right)^2} = 2.\)
Vậy \(D\left( { - 2;\;2} \right).\)
c) Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(d:\;\;y = ax + b - 1\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\;1} \right)\) và \(B\left( {2;\;3} \right).\)
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\;1} \right)\) và \(B\left( {2;\;3} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1.a + b - 1\\3 = 2.a + b - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a + b = 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 0\end{array} \right..\)
Vậy \(a = 2\) và \(b = 0.\)
Câu 2:
Cho biểu thức: \(P = \dfrac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\) (với \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
Điều kiện: \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.\)
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{x + 2\sqrt {xy} + y - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \sqrt x + \sqrt y - y\\\;\;\; = 2\sqrt y - y.\end{array}\)
b) Chứng minh rằng \(P \le 1.\)
Ta có: \(P \le 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt y - y \le 1\\ \Leftrightarrow 1 - 2\sqrt y + y \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall y > 0.\end{array}\)
Vậy \(P \le 1.\)
Câu 3:
Cho phương trình \({x^2} - 4mx + 4{m^2} - 2 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)
a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 1.\)
Với \(m = 1\) ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta ' = 4 - 2 = 2 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2 + \sqrt 2 \\{x_2} = 2 - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Vậy với \(m = 1\) thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {2 - \sqrt 2 ;\;\;2 + \sqrt 2 } \right\}.\)
b) Chứng minh rằng với mọi \(m\) phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Giả sử hai nghiệm là \({x_1},\;{x_2}\) khi đó tìm \(m\) để \(x_1^2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0.\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4{m^2} + 2 > 0 \Leftrightarrow 2 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\))
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4m\\{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\end{array} \right..\)
Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)
\(\Rightarrow x_1^2 - 4m{x_1} + 4{m^2} - 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow x_1^2 = 4m{x_1} - 4{m^2} + 2.\;\)
Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4m{x_1} - 4{m^2} + 2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 4m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow m.4m = 1\\ \Leftrightarrow {m^2} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{2}.\end{array}\)
Vậy \(m = \pm \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4:
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Dựng AH vuông góc với BD tại điểm H, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.
Xét tứ giác \(AHCK\) ta có: \(\widehat {AHK} = \widehat {ACK} = {90^0}\)
Mà hai đỉnh \(H,\;C\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(AK\) dưới góc \({90^0}.\)
\( \Rightarrow AHCK\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
b) Chứng minh AD.AN = AB.AM.
Ta có: \(AM//CD \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {DCN}\) (hai góc đồng vị)
\(\widehat {DCN}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(CD.\)
\(\widehat {ADB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB.\)
Mà cung \(AB = \) cung \(CD\) do \(ABCD\) là hình chữ nhật.
\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {AMN}\left( { = \widehat {DCN}} \right).\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ANM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {A\;\;}\;\;chung\\\widehat {ADB} = \widehat {AMN}\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta ANM\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AN}} = \dfrac{{AD}}{{AM}} \Rightarrow AB.AM = AD.AN\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
Ta có \(E\) là trung điểm của \(MN\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow AE = ME = EN\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
\( \Rightarrow \widehat {EAN} = \widehat {ENA}\)
\(\Rightarrow \widehat {AEM} = \widehat {EAN} + \widehat {ANE} = 2\widehat {ENA}\) (góc ngoài của tam giác).
Vì \(\Delta ABD \sim \Delta ANM\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ANC}\) (hai góc tương ứng).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc so le trong).
\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {ANC}\left( { = \widehat {ABD}} \right) \\\Rightarrow \widehat {HEC} = 2\widehat {ANE} = 2\widehat {BDC} = 2\widehat {ODC}.\;\;\;\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta OCD\) cân tại \(O\) ta có: \(\widehat {DOC} + \widehat {OCD} + \widehat {ODC} = {180^0} \)
\(\Leftrightarrow \widehat {DOC} + 2.\widehat {ODC} = {180^0}.\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {DOC} + \widehat {HEC} = {180^0}.\)
Xét tứ giác \(OHEC\) ta có: \(\widehat {DOC} + \widehat {HEC} = {180^0}\;\;\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow OHEC\) là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng \({180^0}\)).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {OHE} + \widehat {OCE} = {180^0} \\\Leftrightarrow \widehat {OHE} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\\ \Rightarrow OH \bot HE.\end{array}\)
Mà \(OE \bot AH\;\;\;\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow A,\;H,\;E\) thẳng hàng.
d) Cho AB = 6cm, AD = 8cm. Tính độ dài đoạn MN.
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} = {6^2} + {8^2} = {10^2} \Rightarrow BD = 10cm.\)
Vì \(\Delta ABD \sim \Delta ANM\;\left( {cmt} \right)\)
\(\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AN}} = \dfrac{{BD}}{{MN}} = \dfrac{{AD}}{{AM}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{6}{{AN}} = \dfrac{8}{{AM}} = \dfrac{{10}}{{MN}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM = \dfrac{{8MN}}{{10}} = \dfrac{4}{5}MN\\AN = \dfrac{6}{{10}}MN = \dfrac{3}{5}MN\end{array} \right..\)
Xét tam giác \(\Delta DBC\) và \(\Delta CMB\) ta có:
\(\widehat {DCB} = \widehat {CBM} = {90^0}\)
\(\widehat {BDC} = \widehat {BCM}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta DCB \sim CBM\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{BC}}{{BM}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{8} = \dfrac{8}{{BM}}\\ \Leftrightarrow BM = \dfrac{{32}}{3}\;cm.\\ \Rightarrow AM = AB + BM = 6 + \dfrac{{32}}{3} = \dfrac{{50}}{3}\;cm.\\ \Rightarrow MN = \dfrac{5}{4}AM = \dfrac{5}{4}.\dfrac{{50}}{3} = \dfrac{{125}}{6}cm.\end{array}\)
Vậy \(MN = \dfrac{{125}}{6}cm.\)
Đề số 36 là một trong những đề thi thử vào lớp 10 môn Toán được thiết kế để đánh giá khả năng của học sinh trong việc vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán thực tế. Đề thi bao gồm nhiều dạng bài khác nhau, từ đại số đến hình học, đòi hỏi học sinh phải có sự hiểu biết sâu sắc về các khái niệm và công thức toán học.
Đề thi thường được chia thành các phần sau:
Trong đề thi vào lớp 10 môn Toán, các em thường gặp các dạng bài sau:
Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán trong đề thi, chúng tôi sẽ trình bày hướng dẫn giải một số bài toán tiêu biểu:
Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0. Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm:
x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
Nếu b2 - 4ac > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Nếu b2 - 4ac = 0, phương trình có nghiệm kép.
Nếu b2 - 4ac < 0, phương trình vô nghiệm.
Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta có thể sử dụng các trường hợp sau:
Để đạt kết quả tốt trong kỳ thi vào lớp 10 môn Toán, các em cần luyện tập thường xuyên và ôn tập đầy đủ kiến thức. Các em có thể tham khảo các đề thi thử vào lớp 10 môn Toán trên toan9.edu.vn để làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Trước khi làm bài thi, các em nên:
Chúc các em thành công trong kỳ thi vào lớp 10 môn Toán!
| Dạng bài | Mức độ quan trọng | Lời khuyên |
|---|---|---|
| Đại số | Cao | Nắm vững các công thức và phương pháp giải. |
| Hình học | Trung bình | Vẽ hình chính xác và sử dụng các tính chất hình học. |
| Số học | Thấp | Luyện tập các bài toán về chia hết và ước số. |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
