toan9.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi vào 10 môn Toán Cà Mau năm 2021 chính thức, được tổng hợp đầy đủ và cập nhật mới nhất. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh sắp tới.
Chúng tôi cam kết cung cấp những đề thi chất lượng, có đáp án chi tiết và lời giải dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và phương pháp giải quyết các dạng bài tập thường gặp.
Câu 1. (1,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức:
Câu 1. (1,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: \(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
b) Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\) (Với \(x \ge 0,x \ne 1\))
Câu 2. (1,0 điểm)
a) Giải phương trình: \(x - \sqrt {2x + 3} = 0\)
b) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{a} - y = \dfrac{2}{b}\\x - \dfrac{y}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right.\). Tìm \(a\) và \(b\) biết hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right).\)
Câu 3. (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)
a) Vẽ \(\left( P \right).\)
b) Tìm \(m\) đề đường thẳng \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
Câu 4. (1,5 điểm)
Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe.
Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bươc tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi).
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 4m + 7 = 0.\) (\(m\)là tham số)
a) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
Câu 6. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\)nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Hai tiếp tuyến tại \(B\)và \(C\) của đường tròn \((O)\) cắt nhau tại \(M\), tia \(AM\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm \(D.\)
a) Chứng minh rằng tứ giác \(OBMC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh \(M{B^2} = MD.MA\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AD;\) tia \(CE\)cắt đường tròn \((O)\)tại điểm \(F.\) Chứng minh rằng: \(BF//AM.\)
Câu 1 (TH)
Phương pháp:
a) Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.
b) Vận dụng hằng đẳng thức \(a - b = \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\) xác định mẫu thức chung của biểu thức
Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.
Cách giải:
a) Tính giá trị biểu thức: \(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
\(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\, = \left| {\sqrt 7 - 3} \right| - \sqrt {{3^2} + 2.3\sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} \\\,\,\,\, = 3 - \sqrt 7 - \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)}^2}} \,\\\,\,\,\, = 3 - \sqrt 7 - 3 - \sqrt 7 \\\,\,\,\, = - 2\sqrt 7 \end{array}\)
Vậy \(A = - 2\sqrt 7 .\)
b) Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\) (Với \(x \ge 0,x \ne 1\))
\(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\)(ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 1\))
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\sqrt x \,\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} + \dfrac{{x - 4\sqrt x + 4 - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{ - 5\sqrt x + 4}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 4\sqrt x + 4}}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{4\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }}\\ = 4\end{array}\)
Vậy \(B = 4.\)
Câu 2 (TH)
Phương pháp:
a) Giải phương trình: \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\,\,\left( {f\left( x \right) \ge 0} \right)\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)
b) Thay nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\) vào hệ phương trình
Đặt \(u = \dfrac{1}{a};v = \dfrac{1}{b}\), sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế từ đó tìm được \(u,v\), suy ra \(a,b\)
Cách giải:
a) Giải phương trình: \(x - \sqrt {2x + 3} = 0\)
ĐKXĐ: \(x \ge - \dfrac{3}{2}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x - \sqrt {2x + 3} = 0\\ \Leftrightarrow x = \sqrt {2x + 3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 2x + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\,(tm)\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{ 3\} \).
b) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{a} - y = \dfrac{2}{b}\\x - \dfrac{y}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right.\). Tìm \(a\) và \(b\) biết hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right).\)
Điều kiện: \(a \ne 0;b \ne 0\)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\)nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{a} - 2 = \dfrac{2}{b}\\3 - \dfrac{2}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{a} - \dfrac{2}{b} = 2\\\dfrac{1}{a} - \dfrac{2}{b} = - 3\end{array} \right.\)
Đặt \(u = \dfrac{1}{a};v = \dfrac{1}{b}\). Hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}3u - 2v = 2\\u - 2v = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u = 5\\u - 2v = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{5}{2}\\v = \dfrac{{u + 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{5}{2}\\v = \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{5}{2}\\\dfrac{1}{b} = \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{5}\,(tm)\\b = \dfrac{4}{{11}}\,(tm)\end{array} \right.\)
Vậy \(a = \dfrac{2}{5};b = \dfrac{4}{{11}}.\)
Câu 3 (VD)
Phương pháp:
a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)
+ Nhận xét về hệ số \(a\) và sự biến thiên của hàm số
+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)
+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) \(\left( * \right)\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt đồ thị hàm số \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung
\( \Leftrightarrow \,(*)\)có hại nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\)
Cách giải:
a) Vẽ \(\left( P \right).\)
Ta có bảng giá trị:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(y = {x^2}\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
Vậy đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right),\left( { - 1;1} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right)\)và \(\left( {2;4} \right).\)
b) Tìm m đề đường thẳng \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)và \(\left( P \right):y = {x^2}\), có:
\(\left( {m - 1} \right)x + m + 4 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m - 4 = 0\,\,(*)\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt đồ thị hàm số \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung
\( \Leftrightarrow \,(*)\)có hại nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow 1.( - m - 4) < 0\,\, \Leftrightarrow - m - 4 < 0 \Leftrightarrow m > - 4\)
Vậy \(m > - 4\)thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 4 (VD)
Phương pháp:
Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là \(x\) (bước) \((x \in \mathbb{N}*)\)
Số bước chị Hà đi trong 1 phút là \(y\) (bước)
Lập hệ phương trình tìm \(x,y\)
Cách giải:
Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe.
Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bươc tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi).
Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là \(x\) (bước) \((x \in \mathbb{N}*)\)
Số bước chị Hà đi trong 1 phút là \(y\) (bước)
Vì nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước nên ta có phương trình:
\(2x - 2y = 20 \Leftrightarrow x - y = 10\,\,(1)\)
Vì chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên ta có phương trình:
\(5y - 3x = 160\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\5y - 3x = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = 30\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\2y = 190\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\y = 95\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 105\\y = 95\end{array} \right.(tm)\)
Vậy mỗi ngày số bước anh Sơn đi bộ trong 1 giờ là: \(105.60 = 6300\)(bước)
Và mỗi ngày số bước chị Hà đi bộ trong 1 giờ là: \(95.60 = 5700\)(bước)
Câu 5 (VD)
Phương pháp:
a) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\) (hoặc \(\Delta ' \ge 0\))
b) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\dfrac{{ - b}}{a} < 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)
Cách giải:
a) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
Xét phương trình \({x^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 4m + 7 = 0\)
Phương trình đã cho có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4({m^2} - 4m + 7) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 16m - 28 \ge 0\\ \Leftrightarrow 12m \ge 27\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{9}{4}\end{array}\)
Vậy với \(m \ge \dfrac{9}{4}\)thì phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\dfrac{{ - b}}{a} < 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\ - (2m - 1) < 0\\{m^2} - 4m + 7 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\2m - 1 > 0\\({m^2} - 4m + 4) + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\m < \dfrac{1}{2}\\{(m - 2)^2} + 3 > 0\forall m\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{4}\)
Vậy \(m > \dfrac{9}{4}\)thỏa mãn đề bài.
Câu 6 (VD)
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp
b) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta MBD = \Delta MAB\left( {g.g} \right) \Rightarrow M{B^2} = MD.MA\)
b) Ta sẽ chứng minh: \(\angle MEC = \angle BFC\)mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow BF//AM\)(đpcm)
Cách giải:
a) Chứng minh rằng tứ giác \(OBMC\) nội tiếp được đường tròn.
Xét \((O)\)có: \(MB,MC\)là các tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)nên: \(\angle MBO = {90^0};\angle MCO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(OBMC\) có: \(\angle MBO + \angle MCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc \(\angle MBO,\angle MCO\) ở vị trí đối nhau
\( \Rightarrow OBMC\)là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(OM\)(đpcm).
b) Chứng minh \(M{B^2} = MD.MA\)
Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle BAM = \angle DBM\) (gọi tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn \(cungBD\))
Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta MAB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle AMB\,\,\,chung\\\angle BAM = \angle DBM\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MBD = \Delta MAB\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{MD}}{{MB}}\\ \Rightarrow M{B^2} = MD.MA\,\,(dpcm)\end{array}\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AD;\) tia \(CE\)cắt đường tròn \((O)\)tại điểm \(F.\)Chứng minh rằng: \(BF//AM.\)
Xét \(\left( O \right)\) có: \(E\)là trung điểm của \(AD\)nên \(OE \bot AD\) (quan hệ đường kính và dây cung trong đường tròn)
\( \Rightarrow \angle OEM = {90^0}\)
Xét tức giác \(OEMC\) có: \(\angle OEM + \angle OCM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc \(\angle OEM,\angle OCM\) ở vị trí đối nhau
\( \Rightarrow \)Tứ giác \(OEMC\)nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle CEM = \angle COM\)(cùng chắn \(cungMC\))
Mà \(\angle BOM = \angle COM = \dfrac{1}{2}cungBC\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Và \(\angle BFC = \dfrac{1}{2}cungBC\)(tính chất góc nối tiếp)
\( \Rightarrow \angle MEC = \angle BFC\)mà hai góc này ở vị trí đồng vị
\( \Rightarrow BF//AM\)(đpcm)
Câu 1. (1,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: \(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
b) Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\) (Với \(x \ge 0,x \ne 1\))
Câu 2. (1,0 điểm)
a) Giải phương trình: \(x - \sqrt {2x + 3} = 0\)
b) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{a} - y = \dfrac{2}{b}\\x - \dfrac{y}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right.\). Tìm \(a\) và \(b\) biết hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right).\)
Câu 3. (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)
a) Vẽ \(\left( P \right).\)
b) Tìm \(m\) đề đường thẳng \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
Câu 4. (1,5 điểm)
Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe.
Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bươc tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi).
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 4m + 7 = 0.\) (\(m\)là tham số)
a) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
Câu 6. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\)nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Hai tiếp tuyến tại \(B\)và \(C\) của đường tròn \((O)\) cắt nhau tại \(M\), tia \(AM\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm \(D.\)
a) Chứng minh rằng tứ giác \(OBMC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh \(M{B^2} = MD.MA\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AD;\) tia \(CE\)cắt đường tròn \((O)\)tại điểm \(F.\) Chứng minh rằng: \(BF//AM.\)
Câu 1 (TH)
Phương pháp:
a) Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.
b) Vận dụng hằng đẳng thức \(a - b = \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\) xác định mẫu thức chung của biểu thức
Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.
Cách giải:
a) Tính giá trị biểu thức: \(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
\(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\, = \left| {\sqrt 7 - 3} \right| - \sqrt {{3^2} + 2.3\sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} \\\,\,\,\, = 3 - \sqrt 7 - \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)}^2}} \,\\\,\,\,\, = 3 - \sqrt 7 - 3 - \sqrt 7 \\\,\,\,\, = - 2\sqrt 7 \end{array}\)
Vậy \(A = - 2\sqrt 7 .\)
b) Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\) (Với \(x \ge 0,x \ne 1\))
\(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\)(ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 1\))
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\sqrt x \,\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} + \dfrac{{x - 4\sqrt x + 4 - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{ - 5\sqrt x + 4}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 4\sqrt x + 4}}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{4\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }}\\ = 4\end{array}\)
Vậy \(B = 4.\)
Câu 2 (TH)
Phương pháp:
a) Giải phương trình: \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\,\,\left( {f\left( x \right) \ge 0} \right)\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)
b) Thay nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\) vào hệ phương trình
Đặt \(u = \dfrac{1}{a};v = \dfrac{1}{b}\), sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế từ đó tìm được \(u,v\), suy ra \(a,b\)
Cách giải:
a) Giải phương trình: \(x - \sqrt {2x + 3} = 0\)
ĐKXĐ: \(x \ge - \dfrac{3}{2}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x - \sqrt {2x + 3} = 0\\ \Leftrightarrow x = \sqrt {2x + 3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 2x + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\,(tm)\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{ 3\} \).
b) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{a} - y = \dfrac{2}{b}\\x - \dfrac{y}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right.\). Tìm \(a\) và \(b\) biết hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right).\)
Điều kiện: \(a \ne 0;b \ne 0\)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\)nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{a} - 2 = \dfrac{2}{b}\\3 - \dfrac{2}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{a} - \dfrac{2}{b} = 2\\\dfrac{1}{a} - \dfrac{2}{b} = - 3\end{array} \right.\)
Đặt \(u = \dfrac{1}{a};v = \dfrac{1}{b}\). Hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}3u - 2v = 2\\u - 2v = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u = 5\\u - 2v = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{5}{2}\\v = \dfrac{{u + 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{5}{2}\\v = \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{5}{2}\\\dfrac{1}{b} = \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{5}\,(tm)\\b = \dfrac{4}{{11}}\,(tm)\end{array} \right.\)
Vậy \(a = \dfrac{2}{5};b = \dfrac{4}{{11}}.\)
Câu 3 (VD)
Phương pháp:
a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)
+ Nhận xét về hệ số \(a\) và sự biến thiên của hàm số
+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)
+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) \(\left( * \right)\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt đồ thị hàm số \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung
\( \Leftrightarrow \,(*)\)có hại nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\)
Cách giải:
a) Vẽ \(\left( P \right).\)
Ta có bảng giá trị:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(y = {x^2}\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
Vậy đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right),\left( { - 1;1} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right)\)và \(\left( {2;4} \right).\)
b) Tìm m đề đường thẳng \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)và \(\left( P \right):y = {x^2}\), có:
\(\left( {m - 1} \right)x + m + 4 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m - 4 = 0\,\,(*)\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt đồ thị hàm số \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung
\( \Leftrightarrow \,(*)\)có hại nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow 1.( - m - 4) < 0\,\, \Leftrightarrow - m - 4 < 0 \Leftrightarrow m > - 4\)
Vậy \(m > - 4\)thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 4 (VD)
Phương pháp:
Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là \(x\) (bước) \((x \in \mathbb{N}*)\)
Số bước chị Hà đi trong 1 phút là \(y\) (bước)
Lập hệ phương trình tìm \(x,y\)
Cách giải:
Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe.
Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bươc tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi).
Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là \(x\) (bước) \((x \in \mathbb{N}*)\)
Số bước chị Hà đi trong 1 phút là \(y\) (bước)
Vì nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước nên ta có phương trình:
\(2x - 2y = 20 \Leftrightarrow x - y = 10\,\,(1)\)
Vì chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên ta có phương trình:
\(5y - 3x = 160\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\5y - 3x = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = 30\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\2y = 190\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\y = 95\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 105\\y = 95\end{array} \right.(tm)\)
Vậy mỗi ngày số bước anh Sơn đi bộ trong 1 giờ là: \(105.60 = 6300\)(bước)
Và mỗi ngày số bước chị Hà đi bộ trong 1 giờ là: \(95.60 = 5700\)(bước)
Câu 5 (VD)
Phương pháp:
a) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\) (hoặc \(\Delta ' \ge 0\))
b) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\dfrac{{ - b}}{a} < 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)
Cách giải:
a) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
Xét phương trình \({x^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 4m + 7 = 0\)
Phương trình đã cho có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4({m^2} - 4m + 7) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 16m - 28 \ge 0\\ \Leftrightarrow 12m \ge 27\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{9}{4}\end{array}\)
Vậy với \(m \ge \dfrac{9}{4}\)thì phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\dfrac{{ - b}}{a} < 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\ - (2m - 1) < 0\\{m^2} - 4m + 7 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\2m - 1 > 0\\({m^2} - 4m + 4) + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\m < \dfrac{1}{2}\\{(m - 2)^2} + 3 > 0\forall m\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{4}\)
Vậy \(m > \dfrac{9}{4}\)thỏa mãn đề bài.
Câu 6 (VD)
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp
b) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta MBD = \Delta MAB\left( {g.g} \right) \Rightarrow M{B^2} = MD.MA\)
b) Ta sẽ chứng minh: \(\angle MEC = \angle BFC\)mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow BF//AM\)(đpcm)
Cách giải:
a) Chứng minh rằng tứ giác \(OBMC\) nội tiếp được đường tròn.
Xét \((O)\)có: \(MB,MC\)là các tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)nên: \(\angle MBO = {90^0};\angle MCO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(OBMC\) có: \(\angle MBO + \angle MCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc \(\angle MBO,\angle MCO\) ở vị trí đối nhau
\( \Rightarrow OBMC\)là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(OM\)(đpcm).
b) Chứng minh \(M{B^2} = MD.MA\)
Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle BAM = \angle DBM\) (gọi tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn \(cungBD\))
Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta MAB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle AMB\,\,\,chung\\\angle BAM = \angle DBM\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MBD = \Delta MAB\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{MD}}{{MB}}\\ \Rightarrow M{B^2} = MD.MA\,\,(dpcm)\end{array}\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AD;\) tia \(CE\)cắt đường tròn \((O)\)tại điểm \(F.\)Chứng minh rằng: \(BF//AM.\)
Xét \(\left( O \right)\) có: \(E\)là trung điểm của \(AD\)nên \(OE \bot AD\) (quan hệ đường kính và dây cung trong đường tròn)
\( \Rightarrow \angle OEM = {90^0}\)
Xét tức giác \(OEMC\) có: \(\angle OEM + \angle OCM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc \(\angle OEM,\angle OCM\) ở vị trí đối nhau
\( \Rightarrow \)Tứ giác \(OEMC\)nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle CEM = \angle COM\)(cùng chắn \(cungMC\))
Mà \(\angle BOM = \angle COM = \dfrac{1}{2}cungBC\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Và \(\angle BFC = \dfrac{1}{2}cungBC\)(tính chất góc nối tiếp)
\( \Rightarrow \angle MEC = \angle BFC\)mà hai góc này ở vị trí đồng vị
\( \Rightarrow BF//AM\)(đpcm)
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 tại Cà Mau luôn là một cột mốc quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Môn Toán, với vai trò then chốt, đòi hỏi sự chuẩn bị kỹ lưỡng và nắm vững kiến thức nền tảng. Đề thi vào 10 môn Toán Cà Mau năm 2021 không nằm ngoài xu hướng này, với cấu trúc đề thi và nội dung kiến thức tập trung vào các chủ đề trọng tâm của chương trình Toán lớp 9.
Thông thường, đề thi vào 10 môn Toán Cà Mau năm 2021 có cấu trúc gồm các phần sau:
Độ khó của đề thi thường được đánh giá là vừa sức, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và có khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán.
Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi vào 10 môn Toán Cà Mau năm 2021, các em học sinh cần tập trung vào các nội dung kiến thức sau:
Ngoài ra, các em cũng cần luyện tập các bài toán thực tế ứng dụng để rèn luyện khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề.
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi vào 10 môn Toán Cà Mau năm 2021, các em học sinh cần có một kế hoạch ôn tập khoa học và hiệu quả. Dưới đây là một số gợi ý:
Ngoài bộ đề thi vào 10 môn Toán Cà Mau năm 2021 mà toan9.edu.vn cung cấp, các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu ôn thi sau:
Kỳ thi vào 10 môn Toán Cà Mau năm 2021 là một thử thách, nhưng cũng là cơ hội để các em học sinh khẳng định năng lực và mở ra một bước ngoặt mới trong cuộc đời học tập. Hãy chuẩn bị kỹ lưỡng, tự tin và quyết tâm, chắc chắn các em sẽ đạt được kết quả tốt nhất.
toan9.edu.vn hy vọng bộ đề thi vào 10 môn Toán Cà Mau năm 2021 này sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh ôn tập và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em thành công!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
