toan9.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi vào 10 môn Toán Bình Thuận năm 2021 chính thức, được tổng hợp đầy đủ và cập nhật mới nhất. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh sắp tới.
Chúng tôi cam kết cung cấp những đề thi chất lượng, có đáp án chi tiết và lời giải dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và phương pháp giải quyết các dạng bài tập thường gặp.
Bài 1 (2,0 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình sau:
Bài1 (2,0 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) \({x^2} + 3x - 4 = 0\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = - 4\end{array} \right.\)
Bài2 (2,0 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = \left( {\sqrt {27} + 3\sqrt {12} - 2\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \) b) \(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 3}} + \frac{5}{{\sqrt x - 3}} + \frac{6}{{x - 9}}} \right):\frac{2}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\)
Bài 3 (1,5 điểm): Cho hàm số \(y = 2{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\)
a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 1\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\) và \(\left| {{x_2}} \right| - \left| {{x_1}} \right| = 2021\).
Bài 4 (1,0 điểm): Một phân xưởng theo kế hoạch phải may \(1200\) bộ quần áo trong một thời gian quy định. Khi thực hiện, do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày phân xưởng may thêm được \(10\) bộ quần áo và hoàn thành kế hoạch trước 4 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng may bao nhiêu bộ quần áo?
Bài5 (1,0 điểm): Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là \(15cm\), bán kính đáy là \(3cm\) và lượng nước ban đầu trong cốc cao \(10cm\). Thả chìm hoàn toàn vào cốc nước \(5\) viên bi thủy tinh hình cầu có cùng bán kính là \(1cm\). Hỏi sau khi thả \(5\) viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc một khoảng bằng bao nhiêu?
(Giả sử độ dày của thành cốc và đáy cốc không đáng kể; kết quả làm tròn đến chứ số thập phân thứ hai).
Bài 6 (2,5 điểm) Từ điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,\,\,C\) là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.
b) Từ \(A\) vẽ cát tuyến \(AEF\) đến đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(AE < AF\)). Chứng minh \(A{C^2} = AE.AF\).
c) \(OA\) cắt \(BC\) tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HB\), tia \(OM\) cắt \(AB\) tại \(K\). Đặt \(\angle AOB = \alpha \). Chứng minh \({\cos ^2}\alpha = \frac{{KB}}{{KA}}\).
Bài 7 (0,5 điểm) Ba bạn Đào, Mai, Trúc mặc ba chiếc áo màu trắng, hồng, xanh và đeo ba cái khẩu trang cũng màu trắng, hồng, xanh. Biết rằng:
a) Trúc đeo khẩu trang màu xanh.
b) Chỉ có bạn Đào là có màu áo và màu khẩu trang giống nhau.
c) Màu áo và màu khẩu trang của bạn Mai đều không phải màu trắng.
Dựa vào các thông tin trên, em hãy cho biết mỗi bạn Đào, Mai, Trúc mặc áo màu gì và đeo khẩu trang màu gì?
Bài1:
Phương pháp:
a) Sử dụng chú ý để giải phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) nếu có \(a + b + c = 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{c}{a}\).
b) Vận dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ phương trình
Cách giải
a) \({x^2} + 3x - 4 = 0\)
Ta có \( + b + c = 1 + 3 - 4 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \frac{c}{a} = - 4\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 4} \right\}\).
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4y = 8\\x = 4 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 0\end{array} \right.\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right)\).
Bài2:
Phương pháp:
a) Vận dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
Thực hiện các phép với căn bậc hai
b) Vận dụng hằng đẳng thức \(a - b = \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\) xác định mẫu thức chung của biểu thức
Thực hiện các phép toán với các phân thức đại số để rút gọn biểu thức \(B\)
Cách giải:
a) \(A = \left( {\sqrt {27} + 3\sqrt {12} - 2\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \) Ta có: \(\begin{array}{l}A = \left( {\sqrt {27} + 3\sqrt {12} - 2\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt {9.3} + 3\sqrt {3.4} - 2\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \\\,\,\,\,\, = \left( {3\sqrt 3 + 6\sqrt 3 - 2\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \\\,\,\,\,\, = 7\sqrt 3 :\sqrt 3 = 7\end{array}\) Vậy \(A = 7\). | b) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\) ta có: \(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 3}} + \frac{5}{{\sqrt x - 3}} + \frac{6}{{x - 9}}} \right):\frac{2}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x - 3 + 5\left( {\sqrt x + 3} \right) + 6}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{2}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\, = \frac{{6\sqrt x + 18}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{2}\\\,\,\,\, = \frac{{6\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{2}\\\,\,\,\, = 3\end{array}\) Vậy với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\) thì \(B = 3\). |
Bài 3
Phương pháp:
a) Nhận xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = 2{x^2}\)
Lập bằng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\), sau đó vẽ đồ thị.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và Parabol
Giả sử hai nghiệm đó là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\), sau đó theo hệ thức Vi – ét, tính được \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\)
Lập luận và thay vào hệ thức của đề bài để tìm giá trị của \(m\).
Cách giải:
a) Hàm số có hệ số \(a = 2 > 0\) nên đồng biến với \(x > 0\) và nghịch biến với \(x < 0\).
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.
Bảng giá trị:
\(x\) | \( - \frac{3}{2}\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(\frac{3}{2}\) |
\(y = 2{x^2}\) | \(\frac{9}{2}\) | \(2\) | \(0\) | \(2\) | \(\frac{9}{2}\) |
\( \Rightarrow \) Parabol \(y = 2{x^2}\)là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - \frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right);\,\,\left( { - 1;2} \right);\,\,\left( {0;0} \right);\,\,\left( {1;2} \right);\,\,\left( {\frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right)\).
Đồ thị hàm số:
b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và Parabol \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình:
\(2{x^2} = 2mx + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2mx - 1 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 2.\left( { - 1} \right) = {m^2} + 2 > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
Suy ra đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt Parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Giả sử hai nghiệm đó là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\).
Theo định lí Vi-et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\).
Vì tích \({x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{2} < 0\) và \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} < 0,{x_2} > 0\). Do đó ta có:
\(\left| {{x_2}} \right| - \left| {{x_1}} \right| = 2021 \Leftrightarrow {x_2} - \left( { - {x_1}} \right) = 2021 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2021 \Rightarrow m = 2021\)
Vậy \(m = 2021\) là giá trị cần tìm.
Bài 4:
Phương pháp:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, cụ thể gọi \(x\) là số bộ quần áo phân xưởng may trong một ngày theo kế hoạch \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\), từ đó tính được số bộ quần áo may trong một ngày trong thực tế và thời gian tương ứng của thời gian may theo kế hoạch, thời gian may thực tế.
Vì phân xưởng hoàn thành kế hoạch trước 4 ngày nên lập được phương trình.
Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Cách giải:
Gọi \(x\) là số bộ quần áo phân xưởng may trong một ngày theo kế hoạch \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).
Số bộ quần áo may trong một ngày trong thực tế là \(x + 10\) (bộ).
Thời gian may theo kế hoạch là \(\frac{{1200}}{x}\) ngày.
Thời gian may thực tế là \(\frac{{1200}}{{x + 10}}\) ngày.
Vì phân xưởng hoàn thành kế hoạch trước 4 ngày nên ta có phương trình: \(\frac{{1200}}{x} - \frac{{1200}}{{x + 10}} = 4\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1200.\left( {x + 10 - x} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{4x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{1200.10}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{4x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\\ \Rightarrow x\left( {x + 10} \right) = 3000\\ \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 3000 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Ta có: \(\Delta ' = {5^2} + 3000 = 3025 = {55^2} > 0\) nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
\(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - 5 + 55}}{1} = 50\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = \frac{{ - 5 - 55}}{1} = - 60\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng may50 bộ quần áo.
Bài5:
Phương pháp:
Vận dụng công thức tính thể tích hình cầu để tính thể tích của một viên bi: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\)
Tính được mực nước dâng lên \( \to \) Tính được chiều cao của lượng nước dâng lên \( \to \) Tính được chiều cao của nước sau khi thả 5 viên bi vào cốc \( \to \) Tính được mực nước cách miệng cốc bao nhiêu cm.
Cách giải:
Thể tích của bi là \({V_{bi}} = 5.\frac{4}{3}\pi {r_{bi}}^3 = 5.\frac{4}{3}\pi .1 = \frac{{20}}{3}\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
Mặt khác thể tích của bi bằng thể tích của nước dâng nên ta có:
\(\frac{{20}}{3}\pi = \pi {.3^2}.h \Rightarrow h = \frac{{20}}{{27}}\,\,\left( {cm} \right)\) (\(h\) là chiều cao lượng nước dâng lên).
Chiều cao của nước sau khi thả 5 viên bi vào trong cốc là \(10 + \frac{{20}}{{27}} = \frac{{290}}{{27}}\,\,\left( {cm} \right)\)
Mực nước cách miệng cốc một khoảng là \(15 - \frac{{290}}{{27}} = \frac{{115}}{{27}} \approx 4,26\,\,\left( {cm} \right)\)
Vậy mực nước trong cốc cách miệng cốc là \(4,26\) cm.
Bài 6
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(\Delta AEC \sim \Delta ACF\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow A{C^2} = AE.AF\)
c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\).
Kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt \(BN\) tại \(P\).
Chứng minh \(\Delta BAH \sim \Delta OBH\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra được \(\frac{{BA}}{{AN}} = \frac{{OB}}{{BM}}\)
Chứng minh \(\Delta BAN \sim \Delta OBM\,\,\left( {c.g.c} \right);\Delta BAP \sim \Delta OBK\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra được \(\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AP.OB}}{{A{B^2}}}\)\( \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AN.O{B^2}}}{{NO.A{B^2}}}\)
Vận dụng hệ thức lương trong tam giác vuông
Cách giải:
a) Vì \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(A,\,\,B\) nên \(\angle OBA = \angle OCA = {90^0}\).
Xét tứ giác \(ABOC\) có: \(\angle ABO + \angle ACO = {180^0}\), suy ra tứ giác \(ABOC\) nội tiếp (dhnb).
b) Xét tam giác \(AEC\) và tam giác \(ACF\) có: \(\angle EAC = \angle FAC;\) \(\angle ACE = \angle CFA\) (góc nội tiếp và góc tạp bởi tiếp tuyến và dây cùng cùng chắn cung \(CE\)).
\( \Rightarrow \Delta AEC \sim \Delta ACF\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{FA}}\) (2 cạnh tương ứng).
\( \Rightarrow A{C^2} = AE.AF\) (đpcm).
c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\).
Kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt \(BN\) tại \(P\).
Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta OBH\) có:
\(\angle BHA = \angle OHB = {90^0}\);
\(\angle ABH = \angle BOH\) (cùng phụ với \(\angle OBH\))
\( \Rightarrow \Delta BAH \sim \Delta OBH\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{AH}} = \frac{{OB}}{{BH}} \Rightarrow \frac{{BA}}{{2AN}} = \frac{{OB}}{{2BM}} \Rightarrow \frac{{BA}}{{AN}} = \frac{{OB}}{{BM}}\).
Xét \(\Delta BAN\) và \(\Delta OBM\) có: \(\frac{{BA}}{{AN}} = \frac{{OB}}{{BM}}\,\,\left( {cmt} \right)\), \(\angle BAN = \angle OBM\) (cùng phụ với \(\angle BOA\)).
\( \Rightarrow \Delta BAN \sim \Delta OBM\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle ABN = \angle BOM\) (2 cạnh tương ứng)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta BAP \sim \Delta OBK\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{OB}} = \frac{{AP}}{{BK}} \Rightarrow BK.AB = AP.OB \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AP.OB}}{{A{B^2}}}\end{array}\).
Vì \(AP//OB \Rightarrow \frac{{AP}}{{OB}} = \frac{{AN}}{{NO}}\) (định lí Ta-lét) \( \Rightarrow AP.OB = \frac{{AN}}{{NO}}.O{B^2}\)
\( \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AN.O{B^2}}}{{NO.A{B^2}}}\).
Lại có \(O{B^2} = OH.OA,\,\,A{B^2} = AH.AO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AN.OH}}{{NO.AH}} = \frac{{\frac{1}{2}AH.OH}}{{NO.AH}} = \frac{{OH}}{{2NO}}\).
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BK}} = \frac{{2NO}}{{OH}} \Rightarrow \frac{{AB - BK}}{{BK}} = \frac{{2NO - OH}}{{OH}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AK}}{{BK}} = \frac{{2\left( {NH + OH} \right) - OH}}{{OH}} = \frac{{2NH + OH}}{{OH}}\\ \Rightarrow \frac{{AK}}{{BK}} = \frac{{AH + OH}}{{OH}} = \frac{{AO}}{{OH}}\\ \Rightarrow \frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{OH}}{{OA}}\end{array}\)
Lại có \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OH.OA}}{{O{A^2}}} = \frac{{O{B^2}}}{{O{A^2}}} = {\cos ^2}\alpha \).
Vậy \(\frac{{KB}}{{KA}} = {\cos ^2}\alpha \) (đpcm).
Bài 7
Phương pháp:
Lập luận, giải thích từng trường hợp để có được kết luận.
Cách giải:
Vì chỉ có bạn Đào là có màu áo và màu khẩu trang giống nhau nên bạn Trúc đeo khẩu trang khác màu áo.
\( \Rightarrow \) Trúc mặc áo màu trắng hoặc hồng.
+) Nếu Trúc mặc áo màu hồng thì Mai mặc áo màu xanh (do Màu áo và màu khẩu trang của bạn Mai đều không phải màu trắng) và đeo khẩu trang màu hồng.
\( \Rightarrow \) Đào mặc áo trắng và đeo khẩu trang màu trắng.
+) Nếu Trúc mặc áo màu trắng \( \Rightarrow \) Đào mặc áo và đeo khẩu trang màu hồng.
\( \Rightarrow \) Mai mặc áo xanh và đeo khẩu trang màu trắng (vô lí).
Vậy:
Trúc: Áo hồng + khẩu trang xanh.
Đào: Áo trắng + khẩu trang trắng.
Mai: Áo xanh + khẩu trang hồng.
Bài1 (2,0 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) \({x^2} + 3x - 4 = 0\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = - 4\end{array} \right.\)
Bài2 (2,0 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = \left( {\sqrt {27} + 3\sqrt {12} - 2\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \) b) \(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 3}} + \frac{5}{{\sqrt x - 3}} + \frac{6}{{x - 9}}} \right):\frac{2}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\)
Bài 3 (1,5 điểm): Cho hàm số \(y = 2{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\)
a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 1\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\) và \(\left| {{x_2}} \right| - \left| {{x_1}} \right| = 2021\).
Bài 4 (1,0 điểm): Một phân xưởng theo kế hoạch phải may \(1200\) bộ quần áo trong một thời gian quy định. Khi thực hiện, do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày phân xưởng may thêm được \(10\) bộ quần áo và hoàn thành kế hoạch trước 4 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng may bao nhiêu bộ quần áo?
Bài5 (1,0 điểm): Một cốc nước dạng hình trụ có chiều cao là \(15cm\), bán kính đáy là \(3cm\) và lượng nước ban đầu trong cốc cao \(10cm\). Thả chìm hoàn toàn vào cốc nước \(5\) viên bi thủy tinh hình cầu có cùng bán kính là \(1cm\). Hỏi sau khi thả \(5\) viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc một khoảng bằng bao nhiêu?
(Giả sử độ dày của thành cốc và đáy cốc không đáng kể; kết quả làm tròn đến chứ số thập phân thứ hai).
Bài 6 (2,5 điểm) Từ điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,\,\,C\) là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.
b) Từ \(A\) vẽ cát tuyến \(AEF\) đến đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(AE < AF\)). Chứng minh \(A{C^2} = AE.AF\).
c) \(OA\) cắt \(BC\) tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HB\), tia \(OM\) cắt \(AB\) tại \(K\). Đặt \(\angle AOB = \alpha \). Chứng minh \({\cos ^2}\alpha = \frac{{KB}}{{KA}}\).
Bài 7 (0,5 điểm) Ba bạn Đào, Mai, Trúc mặc ba chiếc áo màu trắng, hồng, xanh và đeo ba cái khẩu trang cũng màu trắng, hồng, xanh. Biết rằng:
a) Trúc đeo khẩu trang màu xanh.
b) Chỉ có bạn Đào là có màu áo và màu khẩu trang giống nhau.
c) Màu áo và màu khẩu trang của bạn Mai đều không phải màu trắng.
Dựa vào các thông tin trên, em hãy cho biết mỗi bạn Đào, Mai, Trúc mặc áo màu gì và đeo khẩu trang màu gì?
Bài1:
Phương pháp:
a) Sử dụng chú ý để giải phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) nếu có \(a + b + c = 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{c}{a}\).
b) Vận dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ phương trình
Cách giải
a) \({x^2} + 3x - 4 = 0\)
Ta có \( + b + c = 1 + 3 - 4 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \frac{c}{a} = - 4\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 4} \right\}\).
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4y = 8\\x = 4 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 0\end{array} \right.\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right)\).
Bài2:
Phương pháp:
a) Vận dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
Thực hiện các phép với căn bậc hai
b) Vận dụng hằng đẳng thức \(a - b = \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\) xác định mẫu thức chung của biểu thức
Thực hiện các phép toán với các phân thức đại số để rút gọn biểu thức \(B\)
Cách giải:
a) \(A = \left( {\sqrt {27} + 3\sqrt {12} - 2\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \) Ta có: \(\begin{array}{l}A = \left( {\sqrt {27} + 3\sqrt {12} - 2\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt {9.3} + 3\sqrt {3.4} - 2\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \\\,\,\,\,\, = \left( {3\sqrt 3 + 6\sqrt 3 - 2\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \\\,\,\,\,\, = 7\sqrt 3 :\sqrt 3 = 7\end{array}\) Vậy \(A = 7\). | b) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\) ta có: \(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 3}} + \frac{5}{{\sqrt x - 3}} + \frac{6}{{x - 9}}} \right):\frac{2}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x - 3 + 5\left( {\sqrt x + 3} \right) + 6}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{2}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\, = \frac{{6\sqrt x + 18}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{2}\\\,\,\,\, = \frac{{6\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{2}\\\,\,\,\, = 3\end{array}\) Vậy với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\) thì \(B = 3\). |
Bài 3
Phương pháp:
a) Nhận xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = 2{x^2}\)
Lập bằng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\), sau đó vẽ đồ thị.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và Parabol
Giả sử hai nghiệm đó là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\), sau đó theo hệ thức Vi – ét, tính được \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\)
Lập luận và thay vào hệ thức của đề bài để tìm giá trị của \(m\).
Cách giải:
a) Hàm số có hệ số \(a = 2 > 0\) nên đồng biến với \(x > 0\) và nghịch biến với \(x < 0\).
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.
Bảng giá trị:
\(x\) | \( - \frac{3}{2}\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(\frac{3}{2}\) |
\(y = 2{x^2}\) | \(\frac{9}{2}\) | \(2\) | \(0\) | \(2\) | \(\frac{9}{2}\) |
\( \Rightarrow \) Parabol \(y = 2{x^2}\)là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - \frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right);\,\,\left( { - 1;2} \right);\,\,\left( {0;0} \right);\,\,\left( {1;2} \right);\,\,\left( {\frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right)\).
Đồ thị hàm số:
b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và Parabol \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình:
\(2{x^2} = 2mx + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2mx - 1 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 2.\left( { - 1} \right) = {m^2} + 2 > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
Suy ra đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt Parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Giả sử hai nghiệm đó là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\).
Theo định lí Vi-et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\).
Vì tích \({x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{2} < 0\) và \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} < 0,{x_2} > 0\). Do đó ta có:
\(\left| {{x_2}} \right| - \left| {{x_1}} \right| = 2021 \Leftrightarrow {x_2} - \left( { - {x_1}} \right) = 2021 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2021 \Rightarrow m = 2021\)
Vậy \(m = 2021\) là giá trị cần tìm.
Bài 4:
Phương pháp:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, cụ thể gọi \(x\) là số bộ quần áo phân xưởng may trong một ngày theo kế hoạch \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\), từ đó tính được số bộ quần áo may trong một ngày trong thực tế và thời gian tương ứng của thời gian may theo kế hoạch, thời gian may thực tế.
Vì phân xưởng hoàn thành kế hoạch trước 4 ngày nên lập được phương trình.
Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Cách giải:
Gọi \(x\) là số bộ quần áo phân xưởng may trong một ngày theo kế hoạch \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).
Số bộ quần áo may trong một ngày trong thực tế là \(x + 10\) (bộ).
Thời gian may theo kế hoạch là \(\frac{{1200}}{x}\) ngày.
Thời gian may thực tế là \(\frac{{1200}}{{x + 10}}\) ngày.
Vì phân xưởng hoàn thành kế hoạch trước 4 ngày nên ta có phương trình: \(\frac{{1200}}{x} - \frac{{1200}}{{x + 10}} = 4\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1200.\left( {x + 10 - x} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{4x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{1200.10}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{4x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\\ \Rightarrow x\left( {x + 10} \right) = 3000\\ \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 3000 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Ta có: \(\Delta ' = {5^2} + 3000 = 3025 = {55^2} > 0\) nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
\(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - 5 + 55}}{1} = 50\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = \frac{{ - 5 - 55}}{1} = - 60\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng may50 bộ quần áo.
Bài5:
Phương pháp:
Vận dụng công thức tính thể tích hình cầu để tính thể tích của một viên bi: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\)
Tính được mực nước dâng lên \( \to \) Tính được chiều cao của lượng nước dâng lên \( \to \) Tính được chiều cao của nước sau khi thả 5 viên bi vào cốc \( \to \) Tính được mực nước cách miệng cốc bao nhiêu cm.
Cách giải:
Thể tích của bi là \({V_{bi}} = 5.\frac{4}{3}\pi {r_{bi}}^3 = 5.\frac{4}{3}\pi .1 = \frac{{20}}{3}\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
Mặt khác thể tích của bi bằng thể tích của nước dâng nên ta có:
\(\frac{{20}}{3}\pi = \pi {.3^2}.h \Rightarrow h = \frac{{20}}{{27}}\,\,\left( {cm} \right)\) (\(h\) là chiều cao lượng nước dâng lên).
Chiều cao của nước sau khi thả 5 viên bi vào trong cốc là \(10 + \frac{{20}}{{27}} = \frac{{290}}{{27}}\,\,\left( {cm} \right)\)
Mực nước cách miệng cốc một khoảng là \(15 - \frac{{290}}{{27}} = \frac{{115}}{{27}} \approx 4,26\,\,\left( {cm} \right)\)
Vậy mực nước trong cốc cách miệng cốc là \(4,26\) cm.
Bài 6
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(\Delta AEC \sim \Delta ACF\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow A{C^2} = AE.AF\)
c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\).
Kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt \(BN\) tại \(P\).
Chứng minh \(\Delta BAH \sim \Delta OBH\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra được \(\frac{{BA}}{{AN}} = \frac{{OB}}{{BM}}\)
Chứng minh \(\Delta BAN \sim \Delta OBM\,\,\left( {c.g.c} \right);\Delta BAP \sim \Delta OBK\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra được \(\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AP.OB}}{{A{B^2}}}\)\( \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AN.O{B^2}}}{{NO.A{B^2}}}\)
Vận dụng hệ thức lương trong tam giác vuông
Cách giải:
a) Vì \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(A,\,\,B\) nên \(\angle OBA = \angle OCA = {90^0}\).
Xét tứ giác \(ABOC\) có: \(\angle ABO + \angle ACO = {180^0}\), suy ra tứ giác \(ABOC\) nội tiếp (dhnb).
b) Xét tam giác \(AEC\) và tam giác \(ACF\) có: \(\angle EAC = \angle FAC;\) \(\angle ACE = \angle CFA\) (góc nội tiếp và góc tạp bởi tiếp tuyến và dây cùng cùng chắn cung \(CE\)).
\( \Rightarrow \Delta AEC \sim \Delta ACF\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{FA}}\) (2 cạnh tương ứng).
\( \Rightarrow A{C^2} = AE.AF\) (đpcm).
c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\).
Kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt \(BN\) tại \(P\).
Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta OBH\) có:
\(\angle BHA = \angle OHB = {90^0}\);
\(\angle ABH = \angle BOH\) (cùng phụ với \(\angle OBH\))
\( \Rightarrow \Delta BAH \sim \Delta OBH\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{AH}} = \frac{{OB}}{{BH}} \Rightarrow \frac{{BA}}{{2AN}} = \frac{{OB}}{{2BM}} \Rightarrow \frac{{BA}}{{AN}} = \frac{{OB}}{{BM}}\).
Xét \(\Delta BAN\) và \(\Delta OBM\) có: \(\frac{{BA}}{{AN}} = \frac{{OB}}{{BM}}\,\,\left( {cmt} \right)\), \(\angle BAN = \angle OBM\) (cùng phụ với \(\angle BOA\)).
\( \Rightarrow \Delta BAN \sim \Delta OBM\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle ABN = \angle BOM\) (2 cạnh tương ứng)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta BAP \sim \Delta OBK\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{OB}} = \frac{{AP}}{{BK}} \Rightarrow BK.AB = AP.OB \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AP.OB}}{{A{B^2}}}\end{array}\).
Vì \(AP//OB \Rightarrow \frac{{AP}}{{OB}} = \frac{{AN}}{{NO}}\) (định lí Ta-lét) \( \Rightarrow AP.OB = \frac{{AN}}{{NO}}.O{B^2}\)
\( \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AN.O{B^2}}}{{NO.A{B^2}}}\).
Lại có \(O{B^2} = OH.OA,\,\,A{B^2} = AH.AO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AN.OH}}{{NO.AH}} = \frac{{\frac{1}{2}AH.OH}}{{NO.AH}} = \frac{{OH}}{{2NO}}\).
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BK}} = \frac{{2NO}}{{OH}} \Rightarrow \frac{{AB - BK}}{{BK}} = \frac{{2NO - OH}}{{OH}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AK}}{{BK}} = \frac{{2\left( {NH + OH} \right) - OH}}{{OH}} = \frac{{2NH + OH}}{{OH}}\\ \Rightarrow \frac{{AK}}{{BK}} = \frac{{AH + OH}}{{OH}} = \frac{{AO}}{{OH}}\\ \Rightarrow \frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{OH}}{{OA}}\end{array}\)
Lại có \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OH.OA}}{{O{A^2}}} = \frac{{O{B^2}}}{{O{A^2}}} = {\cos ^2}\alpha \).
Vậy \(\frac{{KB}}{{KA}} = {\cos ^2}\alpha \) (đpcm).
Bài 7
Phương pháp:
Lập luận, giải thích từng trường hợp để có được kết luận.
Cách giải:
Vì chỉ có bạn Đào là có màu áo và màu khẩu trang giống nhau nên bạn Trúc đeo khẩu trang khác màu áo.
\( \Rightarrow \) Trúc mặc áo màu trắng hoặc hồng.
+) Nếu Trúc mặc áo màu hồng thì Mai mặc áo màu xanh (do Màu áo và màu khẩu trang của bạn Mai đều không phải màu trắng) và đeo khẩu trang màu hồng.
\( \Rightarrow \) Đào mặc áo trắng và đeo khẩu trang màu trắng.
+) Nếu Trúc mặc áo màu trắng \( \Rightarrow \) Đào mặc áo và đeo khẩu trang màu hồng.
\( \Rightarrow \) Mai mặc áo xanh và đeo khẩu trang màu trắng (vô lí).
Vậy:
Trúc: Áo hồng + khẩu trang xanh.
Đào: Áo trắng + khẩu trang trắng.
Mai: Áo xanh + khẩu trang hồng.
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 tại Bình Thuận là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi này, việc nắm vững cấu trúc đề thi, các dạng bài tập thường gặp và luyện tập thường xuyên là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em một cái nhìn tổng quan về đề thi vào 10 môn Toán Bình Thuận năm 2021, cùng với những phân tích chi tiết và lời khuyên hữu ích.
Đề thi vào 10 môn Toán Bình Thuận năm 2021 thường bao gồm các phần sau:
Các chủ đề thường xuất hiện trong đề thi bao gồm:
Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp trong đề thi vào 10 môn Toán Bình Thuận năm 2021:
Để ôn thi vào 10 môn Toán Bình Thuận năm 2021 hiệu quả, các em học sinh nên:
Ngoài sách giáo khoa, các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu ôn thi sau:
Đề thi vào 10 môn Toán Bình Thuận năm 2021 đòi hỏi các em học sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng và ôn thi hiệu quả. Hy vọng với những thông tin và lời khuyên trong bài viết này, các em sẽ tự tin và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Chúc các em thành công!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
