toan9.edu.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nghệ An năm 2021. Đây là tài liệu ôn tập vô cùng quan trọng dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới.
Chúng tôi đã tổng hợp đầy đủ các đề thi chính thức, đáp án chi tiết và hướng dẫn giải bài tập để giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Câu 1 (2,5 điểm): a) Tính
Câu 1 (2,5 điểm):
a) Tính \(A = \sqrt {64} + \sqrt {16} - 2\sqrt {36} \)
b) Xác định các hệ số \(a,\,\,b\) của đường thẳng \(y = ax + b\), biết đường thẳng này đi qua điểm \(M\left( {1;9} \right)\) và song song với đường thẳng \(y = 3x\).
c) Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right).\dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\), với \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\).
b) Cho phương trình \({x^2} - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }}\).
Câu 3 (1,5 điểm)
Vào tháng 5 năm 2021, chỉ sau 26 giờ phát hành sản phẩm âm nhạc MV “Trốn tìm” của rapper Đen Vâu đã chính thức dành Top 1 trending của YouTube Việt Nam. Giả sử trong tất cả những người đã xem MV, có 60% số người đã xem 2 lượt và những người còn lại mới chỉ xem 1 lượt. Hỏi đến thời điểm nói trên có bao nhiêu người đã xem MV, biết rằng tổng số lượt xem là 6,4 triệu lượt?
Câu 4 (3,0điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), các đường cao \(AD,\,\,BE\) và \(CF\) (\(D \in BC\), \(E \in AC\) và \(F \in AB\)) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(CF\) và \(DE\). Chứng minh rằng \(DN.EF = HF.CN.\)
c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(OM\) tại \(P\). Chứng minh \(\angle OAM = \angle DAP\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\end{array} \right.\) (\(x,y \in \mathbb{R}\)).
Câu 1
Phương pháp:
a) Vận dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) để rút gọn biểu thức
b) Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song xác định hệ số \(a\) và điều kiện của hệ số \(b\)
Đường thẳng đi qua \(M\left( {1;9} \right)\), xác định được hế số \(b\) đối chiếu điều kiện, kết luận.
c) Áp dụng quy tắc trừ, nhân các phân thức đại số để rút gọn biểu thức.
Cách giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {64} + \sqrt {16} - 2\sqrt {36} \\\,\,\,\,\, = 8 + 4 - 2.6 = 0\end{array}\)
Vậy \(A = 0\).
b) Ta có: \(M\left( {1;9} \right)\) thuộc đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\) nên ta có: \(a + b = 9\,\,\left( 1 \right)\)
Đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 3x\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 0\end{array} \right.\).
Thay \(a = 3\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(b = 6\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy \(a = 3,\,\,b = 6\).
c) Với \(x > 0,\,\,x \ne 1\) ta có:
\(P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right).\dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{1 + \sqrt x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {1 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = 1\end{array}\)
Vậy \(P = 1\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Câu 2
Phương pháp:
a) Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, xác định nghiệm của hệ phương trình.
b) Áp dụng hệ thức Vi – ét, xác định \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\) để tính giá trị của biểu thức \(T\)
Chú ý: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\); \({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \)
Cách giải:
a) Ta có: \(\Delta = {5^2} - 4.2.2 = 9 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{5 + \sqrt 9 }}{{2.2}} = 2\\{x_1} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{5 - \sqrt 9 }}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2;\dfrac{1}{2}} \right\}\).
b) Vì phương trình \({x^2} - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) nên theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 12\\{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\).
Ta có:
\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {12^2} - 2.4 = 136\)
\({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 12 + 2\sqrt 4 = 16 \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 4\).
Vậy \(T = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{{136}}{4} = 34\).
Câu 3
Phương pháp:
Gọi \(x\) là số người đã xem MV (triệu người)
Xác định số người đã xem 2 lượt và số người chỉ xem 1 lượt
Theo giả thiết, tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên lập phương trình
Giải phương trình, xác định \(x\), đối chiếu điều kiện, kết luận.
Cách giải:
Gọi \(x\) là số người đã xem MV (triệu người) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Khi đó số người đã xem 2 lượt là \(60\% x = 0,6x\) (người) và số người chỉ xem 1 lượt là \(40\% x = 0,4x\) (người).
Vì tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}0,6x.2 + 0,4x.1 = 1,6x = 6,4\\ \Leftrightarrow 1,6x = 6,4 \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)
Vậy có 4 triệu người xem MV.
Câu 4
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận của tứ giác: tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau.
b) Vận dụng tính chất của tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác.
c) Áp dụng kiến thức góc – đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn và tam giác đồng dạng.
Cách giải:
a) Ta có \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\) (do \(BE \bot AC,\,\,CF \bot AB\))
\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Ta có \(\angle CDH = \angle CEH = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle CDH + \angle CEH = {180^0}\) nên \(CDHE\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle DCN = \angle NEH\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DH\)).
Xét tam giác \(\Delta DCN\) và \(\Delta HEN\) ta có:
\(\angle DCN = \angle NEH\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\angle DNC = \angle HNE\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta DCN\) đồng dạng với \(\Delta HEN\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{NC}} = \dfrac{{HN}}{{EN}}\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Ta có \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle DCN = \angle HEF\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).
Mà \(\angle DCN = \angle NEH\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\angle NEH = \angle HEF\) hay \(EH\) là tia phân giác của \(\angle NEF\).
\( \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{EN}} = \dfrac{{HF}}{{EF}}\) (tính chất đường phân giác) (2)
Từ (1) và (2) ta được \(\dfrac{{DN}}{{NC}} = \dfrac{{HF}}{{EF}} \Leftrightarrow DN.EF = HF.CN\) (đpcm)
c) Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(OM \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Mà \(BC \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(OM//AD \Rightarrow OP//AD\)
\( \Rightarrow \angle DAP = \angle APO\) (so le trong) (3)
Mặt khác ta có: \(PB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) nên \(OB \bot BP \Rightarrow \angle OBP = {90^0}\) (định nghĩa).
Áp dụng hệ thức lượng tròn tam giác \(OPB\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường cao ta có \(O{B^2} = OM.OP\).
Mà \(O{A^2} = O{B^2} \Rightarrow O{A^2} = OM.OP \Rightarrow \dfrac{{OM}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OP}}\).
Xét tam giác \(\Delta OAM\) và \(\Delta OPA\) ta có:
\(\angle AOP\) chung;
\(\dfrac{{OM}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OP}}\,\,\left( {cmt} \right);\)
\( \Rightarrow \Delta OAM\) đồng dạng với \(\Delta OPA\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \angle OAM = \angle OPA\) (2 góc tương ứng) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\angle OAM = \angle DAP\) (đpcm)
Câu 5
Phương pháp:
Xác định điều kiện của hệ phương trình
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\), biến đổi phương trình (1), tìm được mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\)
Thế lần lượt vào phương trình (2), tìm nghiệm của hệ phương trình, đối chiếu điều kiện, kết luận.
Cách giải:
ĐKXĐ: \(x,\,\,y \ge 0\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow x - \sqrt {xy} + 3\sqrt {xy} - 3y = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) + 3\sqrt y \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3\sqrt y } \right) = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3\sqrt y - 4} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \sqrt y \\\sqrt x + 3\sqrt y = 4\end{array} \right.\end{array}\)
TH1: \(\sqrt x = \sqrt y \) \( \Leftrightarrow x = y\). Thay vào (2) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x + x - {x^2} + x} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x - {x^2}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 1 - \left( {2{x^2} + 3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 - 2x - 5} \right) = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 = y\\x = \dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2} = y\,\,\left( {do\,\,x,y \ge 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + 3\sqrt y = 4\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\end{array} \right.\).
Đặt \(\sqrt x = a,\,\,\sqrt y = b\,\,\left( {a,b \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3b = 4 \Leftrightarrow b = \dfrac{{4 - a}}{3}\\\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + ab - {a^4} + {a^2}} \right) = 4\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)
Thế \(b = \dfrac{{4 - a}}{3}\) vào (*) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {\dfrac{{4 - a}}{3}} \right)}^2} + a.\dfrac{{4 - a}}{3} - {a^4} + {a^2}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right).\dfrac{{16 - 8a + {a^2} + 12a - 3{a^2} - 9{a^4} + 9{a^2}}}{9} = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left( { - 9{a^4} + 7{a^2} + 4a + 16} \right) = 32\\ \Leftrightarrow 9{a^6} + 2{a^4} - 4{a^3} - 23{a^2} - 4a + 20 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2}\left( {9{a^4} + 18{a^3} + 29{a^2} + 36a + 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a = 1\,\,\left( {do\,\,a \ge 0} \right) \Rightarrow b = \dfrac{{4 - 1}}{3} = 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\\\sqrt y = 1 \Leftrightarrow y = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}\).
Câu 1 (2,5 điểm):
a) Tính \(A = \sqrt {64} + \sqrt {16} - 2\sqrt {36} \)
b) Xác định các hệ số \(a,\,\,b\) của đường thẳng \(y = ax + b\), biết đường thẳng này đi qua điểm \(M\left( {1;9} \right)\) và song song với đường thẳng \(y = 3x\).
c) Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right).\dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\), với \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\).
b) Cho phương trình \({x^2} - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }}\).
Câu 3 (1,5 điểm)
Vào tháng 5 năm 2021, chỉ sau 26 giờ phát hành sản phẩm âm nhạc MV “Trốn tìm” của rapper Đen Vâu đã chính thức dành Top 1 trending của YouTube Việt Nam. Giả sử trong tất cả những người đã xem MV, có 60% số người đã xem 2 lượt và những người còn lại mới chỉ xem 1 lượt. Hỏi đến thời điểm nói trên có bao nhiêu người đã xem MV, biết rằng tổng số lượt xem là 6,4 triệu lượt?
Câu 4 (3,0điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), các đường cao \(AD,\,\,BE\) và \(CF\) (\(D \in BC\), \(E \in AC\) và \(F \in AB\)) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(CF\) và \(DE\). Chứng minh rằng \(DN.EF = HF.CN.\)
c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(OM\) tại \(P\). Chứng minh \(\angle OAM = \angle DAP\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\end{array} \right.\) (\(x,y \in \mathbb{R}\)).
Câu 1
Phương pháp:
a) Vận dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) để rút gọn biểu thức
b) Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song xác định hệ số \(a\) và điều kiện của hệ số \(b\)
Đường thẳng đi qua \(M\left( {1;9} \right)\), xác định được hế số \(b\) đối chiếu điều kiện, kết luận.
c) Áp dụng quy tắc trừ, nhân các phân thức đại số để rút gọn biểu thức.
Cách giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {64} + \sqrt {16} - 2\sqrt {36} \\\,\,\,\,\, = 8 + 4 - 2.6 = 0\end{array}\)
Vậy \(A = 0\).
b) Ta có: \(M\left( {1;9} \right)\) thuộc đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\) nên ta có: \(a + b = 9\,\,\left( 1 \right)\)
Đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 3x\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 0\end{array} \right.\).
Thay \(a = 3\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(b = 6\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy \(a = 3,\,\,b = 6\).
c) Với \(x > 0,\,\,x \ne 1\) ta có:
\(P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right).\dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{1 + \sqrt x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {1 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = 1\end{array}\)
Vậy \(P = 1\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Câu 2
Phương pháp:
a) Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, xác định nghiệm của hệ phương trình.
b) Áp dụng hệ thức Vi – ét, xác định \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\) để tính giá trị của biểu thức \(T\)
Chú ý: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\); \({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \)
Cách giải:
a) Ta có: \(\Delta = {5^2} - 4.2.2 = 9 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{5 + \sqrt 9 }}{{2.2}} = 2\\{x_1} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{5 - \sqrt 9 }}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2;\dfrac{1}{2}} \right\}\).
b) Vì phương trình \({x^2} - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) nên theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 12\\{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\).
Ta có:
\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {12^2} - 2.4 = 136\)
\({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 12 + 2\sqrt 4 = 16 \Rightarrow \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 4\).
Vậy \(T = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{{136}}{4} = 34\).
Câu 3
Phương pháp:
Gọi \(x\) là số người đã xem MV (triệu người)
Xác định số người đã xem 2 lượt và số người chỉ xem 1 lượt
Theo giả thiết, tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên lập phương trình
Giải phương trình, xác định \(x\), đối chiếu điều kiện, kết luận.
Cách giải:
Gọi \(x\) là số người đã xem MV (triệu người) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Khi đó số người đã xem 2 lượt là \(60\% x = 0,6x\) (người) và số người chỉ xem 1 lượt là \(40\% x = 0,4x\) (người).
Vì tổng số lượt xem là 6,4 triệu nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}0,6x.2 + 0,4x.1 = 1,6x = 6,4\\ \Leftrightarrow 1,6x = 6,4 \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)
Vậy có 4 triệu người xem MV.
Câu 4
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận của tứ giác: tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau.
b) Vận dụng tính chất của tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác.
c) Áp dụng kiến thức góc – đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn và tam giác đồng dạng.
Cách giải:
a) Ta có \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\) (do \(BE \bot AC,\,\,CF \bot AB\))
\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Ta có \(\angle CDH = \angle CEH = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle CDH + \angle CEH = {180^0}\) nên \(CDHE\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle DCN = \angle NEH\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DH\)).
Xét tam giác \(\Delta DCN\) và \(\Delta HEN\) ta có:
\(\angle DCN = \angle NEH\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\angle DNC = \angle HNE\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta DCN\) đồng dạng với \(\Delta HEN\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{NC}} = \dfrac{{HN}}{{EN}}\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Ta có \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle DCN = \angle HEF\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).
Mà \(\angle DCN = \angle NEH\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\angle NEH = \angle HEF\) hay \(EH\) là tia phân giác của \(\angle NEF\).
\( \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{EN}} = \dfrac{{HF}}{{EF}}\) (tính chất đường phân giác) (2)
Từ (1) và (2) ta được \(\dfrac{{DN}}{{NC}} = \dfrac{{HF}}{{EF}} \Leftrightarrow DN.EF = HF.CN\) (đpcm)
c) Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(OM \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Mà \(BC \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(OM//AD \Rightarrow OP//AD\)
\( \Rightarrow \angle DAP = \angle APO\) (so le trong) (3)
Mặt khác ta có: \(PB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) nên \(OB \bot BP \Rightarrow \angle OBP = {90^0}\) (định nghĩa).
Áp dụng hệ thức lượng tròn tam giác \(OPB\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường cao ta có \(O{B^2} = OM.OP\).
Mà \(O{A^2} = O{B^2} \Rightarrow O{A^2} = OM.OP \Rightarrow \dfrac{{OM}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OP}}\).
Xét tam giác \(\Delta OAM\) và \(\Delta OPA\) ta có:
\(\angle AOP\) chung;
\(\dfrac{{OM}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OP}}\,\,\left( {cmt} \right);\)
\( \Rightarrow \Delta OAM\) đồng dạng với \(\Delta OPA\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \angle OAM = \angle OPA\) (2 góc tương ứng) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\angle OAM = \angle DAP\) (đpcm)
Câu 5
Phương pháp:
Xác định điều kiện của hệ phương trình
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\), biến đổi phương trình (1), tìm được mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\)
Thế lần lượt vào phương trình (2), tìm nghiệm của hệ phương trình, đối chiếu điều kiện, kết luận.
Cách giải:
ĐKXĐ: \(x,\,\,y \ge 0\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2\sqrt {xy} = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow x - \sqrt {xy} + 3\sqrt {xy} - 3y = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) + 3\sqrt y \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3\sqrt y } \right) = 4\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3\sqrt y - 4} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \sqrt y \\\sqrt x + 3\sqrt y = 4\end{array} \right.\end{array}\)
TH1: \(\sqrt x = \sqrt y \) \( \Leftrightarrow x = y\). Thay vào (2) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x + x - {x^2} + x} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x - {x^2}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 1 - \left( {2{x^2} + 3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 - 2x - 5} \right) = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 = y\\x = \dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2} = y\,\,\left( {do\,\,x,y \ge 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + 3\sqrt y = 4\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \sqrt {xy} - {x^2} + x} \right) = 4\end{array} \right.\).
Đặt \(\sqrt x = a,\,\,\sqrt y = b\,\,\left( {a,b \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3b = 4 \Leftrightarrow b = \dfrac{{4 - a}}{3}\\\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + ab - {a^4} + {a^2}} \right) = 4\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)
Thế \(b = \dfrac{{4 - a}}{3}\) vào (*) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {\dfrac{{4 - a}}{3}} \right)}^2} + a.\dfrac{{4 - a}}{3} - {a^4} + {a^2}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right).\dfrac{{16 - 8a + {a^2} + 12a - 3{a^2} - 9{a^4} + 9{a^2}}}{9} = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)\left( { - 9{a^4} + 7{a^2} + 4a + 16} \right) = 32\\ \Leftrightarrow 9{a^6} + 2{a^4} - 4{a^3} - 23{a^2} - 4a + 20 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2}\left( {9{a^4} + 18{a^3} + 29{a^2} + 36a + 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a = 1\,\,\left( {do\,\,a \ge 0} \right) \Rightarrow b = \dfrac{{4 - 1}}{3} = 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\\\sqrt y = 1 \Leftrightarrow y = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}\).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Nghệ An năm 2021 là một kỳ thi quan trọng đánh giá năng lực học tập môn Toán của học sinh lớp 9. Đề thi thường bao gồm các dạng bài tập khác nhau, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Năm 2021, đề thi có xu hướng tập trung vào các kiến thức cơ bản, trọng tâm của chương trình Toán lớp 9, đồng thời có một số câu hỏi vận dụng và nâng cao để phân loại học sinh.
Đề thi thường được chia thành các phần sau:
Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi, học sinh cần nắm vững các chủ đề kiến thức sau:
Dưới đây là một số dạng bài tập thường xuất hiện trong đề thi vào 10 môn Toán Nghệ An:
Việc luyện tập với các đề thi năm trước là một cách hiệu quả để làm quen với cấu trúc đề thi, dạng bài tập và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. toan9.edu.vn cung cấp đầy đủ các đề thi vào 10 môn Toán Nghệ An năm 2021, kèm theo đáp án chi tiết và hướng dẫn giải bài tập. Các em có thể tải về và luyện tập thường xuyên để nâng cao khả năng làm bài.
Ngoài các đề thi, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu ôn thi sau:
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Nghệ An năm 2021 đòi hỏi sự chuẩn bị kỹ lưỡng và nỗ lực không ngừng của học sinh. Hy vọng với bộ đề thi và các tài liệu ôn tập mà toan9.edu.vn cung cấp, các em sẽ đạt được kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới. Chúc các em thành công!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
