Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết mục 2 trang 30, 31 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo trên toan9.edu.vn. Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những bài tập chuyên sâu.
Do đó, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của toan9.edu.vn đã biên soạn bộ giải bài tập này với mục tiêu giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Chứng minh rằng ({n^3} + 2n) chia hết cho 3 với mọi (n in mathbb{N}*)
Chứng minh rằng \({n^3} + 2n\) chia hết cho 3 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({1^3} + 2.1 = 3\) chia hết cho 3
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({k^3} + 2k\) chia hết cho 3
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1)\) chia hết cho 3
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 = \left( {{k^3} + 2k} \right) + 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần \((n \in \mathbb{N}*)\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Gọi I là điểm mà các đường thẳng đi qua
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có một đường thẳng đi qua điểm I chia mặt phẳng thành 2 phần.
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: k đường thẳng đi qua I chia mặt phẳng thành 2k phần. Ta chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là chứng minh k+1 đường thẳng cùng đi qua I chia mặt phẳng thành 2(k+1) phần.
Gọi đường thẳng thứ k+1 là d. Theo giả thiết quy nạp, k đường thẳng đầu tiên chia mặt phẳng thành 2k phần
Dễ thấy: Mỗi phần mặt phẳng đều là phần trong của góc có đỉnh là I và cạnh nằm trên các đường thẳng đã cho. Hơn nữa các góc tạo thành các cặp góc đối đỉnh.
Do các đường thẳng là khác nhau nên đường thẳng d phải nằm trong 1 cặp góc đối đỉnh nào đó. Nó chia 2 phần là phần trong của cặp góc này thành 4 phần.
Do đó số phần mặt phẳng được chia bởi k+1 đường thẳng là \(2k + 2 = 2(k + 1)\).
Vậy mệnh đề đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{n - 1}} = \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1 - q}}{{1 - q}}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\(\begin{array}{l}1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}} + {q^k}\\ = \frac{{1 - {q^k} + {q^k}(1 - q)}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^k} + {q^k} - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền sau mỗi kì hạn nếu khoongg rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, ngguowif gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi \({T_n}\) là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ n \((n \in \mathbb{N}*)\).
a) Tính \({T_1},{T_2},{T_3}.\)
b) Từ đó, dự đoán công thức tính \({T_n}\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải:
PP quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Sau kì thứ 1 người đó nhận được: \({T_1} = A + A.r = A(1 + r)\)
Sau kì thứ 1 người đó không rút ra thì ở kì thứ 2 tiền vốn chính là \({T_1}\), vậy người đó nhận được: \({T_2} = {T_1} + {T_1}.r = {T_1}(1 + r) = A.{(1 + r)^2}\)
Sau kì thứ 3 người đó nhận được: \({T_3} = {T_2} + {T_2}.r = {T_2}(1 + r) = A.{(1 + r)^3}\)
b) Dự đoán: \({T_n} = A.{(1 + r)^n}\) (*)
Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({T_1} = A(1 + r)\)
Vậy (*) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({T_k} = A.{(1 + r)^k}\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({T_{k + 1}} = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Thật vậy, sau kì thứ k, nếu không rút lãi thì lãi được tính vào tiền vốn của kì k+1, khi đó số tiền nhận được là \({T_{k + 1}} = {T_k} + {T_k}.r = {T_k}(1 + r) = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)
Chứng minh rằng \({n^3} + 2n\) chia hết cho 3 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({1^3} + 2.1 = 3\) chia hết cho 3
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({k^3} + 2k\) chia hết cho 3
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1)\) chia hết cho 3
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\({(k + 1)^3} + 2(k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 = \left( {{k^3} + 2k} \right) + 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{n - 1}} = \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1 - q}}{{1 - q}}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\(\begin{array}{l}1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}} + {q^k}\\ = \frac{{1 - {q^k} + {q^k}(1 - q)}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^k} + {q^k} - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\quad (q \ne 1)\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần \((n \in \mathbb{N}*)\).
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Gọi I là điểm mà các đường thẳng đi qua
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có một đường thẳng đi qua điểm I chia mặt phẳng thành 2 phần.
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: k đường thẳng đi qua I chia mặt phẳng thành 2k phần. Ta chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là chứng minh k+1 đường thẳng cùng đi qua I chia mặt phẳng thành 2(k+1) phần.
Gọi đường thẳng thứ k+1 là d. Theo giả thiết quy nạp, k đường thẳng đầu tiên chia mặt phẳng thành 2k phần
Dễ thấy: Mỗi phần mặt phẳng đều là phần trong của góc có đỉnh là I và cạnh nằm trên các đường thẳng đã cho. Hơn nữa các góc tạo thành các cặp góc đối đỉnh.
Do các đường thẳng là khác nhau nên đường thẳng d phải nằm trong 1 cặp góc đối đỉnh nào đó. Nó chia 2 phần là phần trong của cặp góc này thành 4 phần.
Do đó số phần mặt phẳng được chia bởi k+1 đường thẳng là \(2k + 2 = 2(k + 1)\).
Vậy mệnh đề đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền sau mỗi kì hạn nếu khoongg rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, ngguowif gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi \({T_n}\) là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ n \((n \in \mathbb{N}*)\).
a) Tính \({T_1},{T_2},{T_3}.\)
b) Từ đó, dự đoán công thức tính \({T_n}\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải:
PP quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Sau kì thứ 1 người đó nhận được: \({T_1} = A + A.r = A(1 + r)\)
Sau kì thứ 1 người đó không rút ra thì ở kì thứ 2 tiền vốn chính là \({T_1}\), vậy người đó nhận được: \({T_2} = {T_1} + {T_1}.r = {T_1}(1 + r) = A.{(1 + r)^2}\)
Sau kì thứ 3 người đó nhận được: \({T_3} = {T_2} + {T_2}.r = {T_2}(1 + r) = A.{(1 + r)^3}\)
b) Dự đoán: \({T_n} = A.{(1 + r)^n}\) (*)
Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({T_1} = A(1 + r)\)
Vậy (*) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({T_k} = A.{(1 + r)^k}\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({T_{k + 1}} = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Thật vậy, sau kì thứ k, nếu không rút lãi thì lãi được tính vào tiền vốn của kì k+1, khi đó số tiền nhận được là \({T_{k + 1}} = {T_k} + {T_k}.r = {T_k}(1 + r) = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và phương pháp giải quyết bài tập là yếu tố then chốt để giải quyết thành công các bài tập trong mục này. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về nội dung chính của mục 2, đồng thời trình bày các phương pháp tiếp cận hiệu quả để giải quyết các dạng bài tập thường gặp.
Để hiểu rõ hơn về Mục 2 trang 30, 31, chúng ta cần xem xét các khái niệm và định lý quan trọng được đề cập. Thông thường, mục này sẽ bao gồm:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trang 30:
Tiếp theo, chúng ta sẽ cùng giải chi tiết các bài tập trang 31:
Trong Mục 2, có một số dạng bài tập thường gặp mà học sinh cần nắm vững phương pháp giải. Dưới đây là một số dạng bài tập phổ biến:
Để giải quyết các dạng bài tập này, học sinh cần:
Để học tập hiệu quả môn Toán 10, đặc biệt là khi giải các bài tập trong Chuyên đề học tập, học sinh nên:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các phương pháp tiếp cận được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong Mục 2 trang 30, 31 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
