Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 4 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo trên toan9.edu.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức trọng tâm của bài học.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những nội dung chất lượng, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 10 hiện hành.
Cho \(a,b \ge 0\). Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Đề bài
Cho \(a,b \ge 0\). Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\)
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(\frac{{{a^1} + {b^1}}}{2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^1}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giải sử bất đẳng thức đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}\)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(\frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}.\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \le \left( {\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}} \right).\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\)
Ta sẽ nhận được điều phải chứng minh nếu chứng minh được:
\(\left( {\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}} \right).\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \le \frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2}\)
Hay \(\left( {{a^k} + {b^k}} \right).\left( {a + b} \right) \le 2\left( {{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \right)\)
Hay \({a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} + b{a^k} + a{b^k} \le 2\left( {{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \right)\)
Hay \({a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} - b{a^k} - a{b^k} \ge 0\)
Hay \(\left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\) đúng vì \(\left( {{a^k} - {b^k}} \right)\) và \(\left( {a - b} \right)\) cùng dấu, \(k \in \mathbb{N}*;a,b \ge 0.\)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài 4 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và đặc biệt là ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh các tính chất hình học.
Bài 4 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 4 trang 32, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng phần của bài tập.
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng AB + AC = 2AM, với M là trung điểm của BC.
Lời giải:
Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC. Do đó, BC = 2BM. Ta có:
AB + AC = AB + (AB + BC) = 2AB + BC = 2AB + 2BM = 2(AB + BM) = 2AM
Vậy, AB + AC = 2AM (đpcm)
Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tìm vectơ AD theo các vectơ AB và AC.
Lời giải:
Ta có AD = AC - CD. Vì ABCD là hình vuông, nên CD = AB. Do đó, AD = AC - AB.
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Lời giải:
Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC. Do đó, BC = 2BM. Ta có:
AM = AB + BM. Vì BM = 1/2 BC, nên AM = AB + 1/2 BC.
Điều này chứng tỏ AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Bài 4 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng vào giải quyết các bài toán hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
