Chào mừng bạn đến với toan9.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10 Chuyên đề học tập - Kết nối tri thức. Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi tư duy và vận dụng kiến thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong học tập.
Cho Elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm \(M(x;y)\).
Cho Elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm \(M(x;y)\).
a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\)
b) Khi điểm M thuộc Elip (\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)), tính \(M{F_1} - M{F_2},M{F_1},M{F_2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\)
Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( - c - x; - y);\overrightarrow {M{F_2}} (c - x; - y)\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( - c - x)^2} + {( - y)^2};M{F_2}^2 = {(c - x)^2} + {( - y)^2}\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = {( - c - x)^2} - {(c - x)^2} = 4cx\)
b) Khi điểm M thuộc Elip (\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)),
\(\begin{array}{l}M{F_1} - M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 - M{F_2}^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{2c}}{a}x\\M{F_1} = \frac{{2a + \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{2a - \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a - \frac{c}{a}x\end{array}\)
Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\), điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( - c;0)\) là một tiêu điểm.
Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({a^2} = 36,{b^2} = 20 \Rightarrow a = 6,b = 2\sqrt 5 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\)
Xét tiêu điểm \({F_1}( - 4;0)\)
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = 2\) khi M trùng \({A_1}( - 6;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 10\) khi M trùng \({A_2}(6;0)\)
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip. Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip và có hoành độ bằng -2.
Phương pháp giải:
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x = - \frac{a}{e}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\).
+ Bán kính qua tiêu của M (x; y): \(M{F_1} = a + ex,\;M{F_2} = a - ex.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\).
\( \Rightarrow a = 6,b = 5,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {11} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\)
+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x = - \frac{{36\sqrt {11} }}{{11}}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{36\sqrt {11} }}{{11}}\).
+ Bán kính qua tiêu của M (-2; y): \(M{F_1} = 6 + \frac{{\sqrt {11} }}{6}.( - 2) = 6 - \frac{{\sqrt {11} }}{3},\;M{F_2} = 6 - \frac{{\sqrt {11} }}{6}.( - 2) = 6 + \frac{{\sqrt {11} }}{3}.\)
Mặt trăng chuyển động theo một quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Các khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ các vị trí của Mặt Trăng đến tâm Trái Đất tương ứng là 400 000 km và 363 000 km (theo nssdc.gsfc.nasa.gov). Tìm tâm sai của quỹ đạo elip.
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( - c;0)\) là một tiêu điểm.
Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi PTCT của quỹ đạo hình elip đó là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\),
Giả sử Trái Đất là tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\).
Điểm M bất kì thuộc elip là vị trí của Mặt trăng trong quỹ đạo, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = 363\;000\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 400\;000\)
\( \Rightarrow a = 381500,\;c = 18500\)
\( \Rightarrow \)Tâm sai của elip là: \(e = \frac{{18500}}{{381500}} = \frac{{37}}{{763}}.\)
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với các tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)ở đây \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) (H.3.6). Xét các đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{{{a^2}}}{c}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{{a^2}}}{c}\).
Với điểm M (x; y) thuộc elip, tính các tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}}\) và \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\) theo a và c.
Phương pháp giải:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\)
Lời giải chi tiết:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = \frac{{{a^2} + cx}}{a};\;\;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = \frac{{{a^2} - cx}}{a}\)
\(d(M,{\Delta _1}) = \frac{{{a^2}}}{c} + x = \frac{{{a^2} + cx}}{c}\)
\(d(M,{\Delta _2}) = \frac{{{a^2}}}{c} - x = \frac{{{a^2} - cx}}{c}\)
\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{{a^2} + cx}}{a}:\frac{{{a^2} + cx}}{c} = \frac{c}{a}\) ; \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{{a^2} - cx}}{a}:\frac{{{a^2} - cx}}{c} = \frac{c}{a}\)
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{c}{a}.\)
Với thông tin đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với \({10^6}km\) trên thực tế.
Phương pháp giải:
Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ trong PTCT \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(b \le OM \le a\)
\(\begin{array}{l}OM = b \Leftrightarrow M \equiv {B_1}\left( {0; - b} \right);{B_2}\left( {0;b} \right).\\OM = a \Leftrightarrow M \equiv {A_1}\left( { - a;0} \right);{A_2}\left( {a;0} \right).\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ O.
Gọi PTCT của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
M là vị trí của Trái Đất, rõ ràng \(M \in (E)\)
Vì \(b \le OM \le a\) nên \(a = {152.10^6};b = {147.10^6}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{{23104.10}^{12}}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{21609.10}^{12}}}} = 1\)
Cho Elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm \(M(x;y)\).
a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\)
b) Khi điểm M thuộc Elip (\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)), tính \(M{F_1} - M{F_2},M{F_1},M{F_2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\)
Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( - c - x; - y);\overrightarrow {M{F_2}} (c - x; - y)\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( - c - x)^2} + {( - y)^2};M{F_2}^2 = {(c - x)^2} + {( - y)^2}\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = {( - c - x)^2} - {(c - x)^2} = 4cx\)
b) Khi điểm M thuộc Elip (\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)),
\(\begin{array}{l}M{F_1} - M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 - M{F_2}^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{2c}}{a}x\\M{F_1} = \frac{{2a + \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{2a - \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a - \frac{c}{a}x\end{array}\)
Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\), điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( - c;0)\) là một tiêu điểm.
Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({a^2} = 36,{b^2} = 20 \Rightarrow a = 6,b = 2\sqrt 5 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\)
Xét tiêu điểm \({F_1}( - 4;0)\)
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = 2\) khi M trùng \({A_1}( - 6;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 10\) khi M trùng \({A_2}(6;0)\)
Với thông tin đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với \({10^6}km\) trên thực tế.
Phương pháp giải:
Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ trong PTCT \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(b \le OM \le a\)
\(\begin{array}{l}OM = b \Leftrightarrow M \equiv {B_1}\left( {0; - b} \right);{B_2}\left( {0;b} \right).\\OM = a \Leftrightarrow M \equiv {A_1}\left( { - a;0} \right);{A_2}\left( {a;0} \right).\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ O.
Gọi PTCT của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
M là vị trí của Trái Đất, rõ ràng \(M \in (E)\)
Vì \(b \le OM \le a\) nên \(a = {152.10^6};b = {147.10^6}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{{23104.10}^{12}}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{21609.10}^{12}}}} = 1\)
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với các tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)ở đây \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) (H.3.6). Xét các đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{{{a^2}}}{c}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{{a^2}}}{c}\).
Với điểm M (x; y) thuộc elip, tính các tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}}\) và \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\) theo a và c.
Phương pháp giải:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\)
Lời giải chi tiết:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = \frac{{{a^2} + cx}}{a};\;\;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = \frac{{{a^2} - cx}}{a}\)
\(d(M,{\Delta _1}) = \frac{{{a^2}}}{c} + x = \frac{{{a^2} + cx}}{c}\)
\(d(M,{\Delta _2}) = \frac{{{a^2}}}{c} - x = \frac{{{a^2} - cx}}{c}\)
\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{{a^2} + cx}}{a}:\frac{{{a^2} + cx}}{c} = \frac{c}{a}\) ; \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{{a^2} - cx}}{a}:\frac{{{a^2} - cx}}{c} = \frac{c}{a}\)
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{c}{a}.\)
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip. Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip và có hoành độ bằng -2.
Phương pháp giải:
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x = - \frac{a}{e}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\).
+ Bán kính qua tiêu của M (x; y): \(M{F_1} = a + ex,\;M{F_2} = a - ex.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\).
\( \Rightarrow a = 6,b = 5,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {11} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\)
+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x = - \frac{{36\sqrt {11} }}{{11}}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{36\sqrt {11} }}{{11}}\).
+ Bán kính qua tiêu của M (-2; y): \(M{F_1} = 6 + \frac{{\sqrt {11} }}{6}.( - 2) = 6 - \frac{{\sqrt {11} }}{3},\;M{F_2} = 6 - \frac{{\sqrt {11} }}{6}.( - 2) = 6 + \frac{{\sqrt {11} }}{3}.\)
Mặt trăng chuyển động theo một quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Các khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ các vị trí của Mặt Trăng đến tâm Trái Đất tương ứng là 400 000 km và 363 000 km (theo nssdc.gsfc.nasa.gov). Tìm tâm sai của quỹ đạo elip.
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( - c;0)\) là một tiêu điểm.
Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi PTCT của quỹ đạo hình elip đó là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\),
Giả sử Trái Đất là tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\).
Điểm M bất kì thuộc elip là vị trí của Mặt trăng trong quỹ đạo, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = 363\;000\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 400\;000\)
\( \Rightarrow a = 381500,\;c = 18500\)
\( \Rightarrow \)Tâm sai của elip là: \(e = \frac{{18500}}{{381500}} = \frac{{37}}{{763}}.\)
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan. Việc giải các bài tập trang 42, 43, 44 là cơ hội để củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng áp dụng vào thực tế.
Để hiểu rõ hơn về Mục 2, chúng ta cần xem xét các nội dung chính sau:
Ở trang 42, các bài tập thường tập trung vào việc kiểm tra khả năng hiểu và vận dụng các khái niệm cơ bản. Ví dụ:
Lời giải cho các bài tập này cần trình bày rõ ràng, logic và có giải thích chi tiết từng bước.
Trang 43 thường chứa các bài tập có độ khó cao hơn, đòi hỏi học sinh phải kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau. Ví dụ:
Khi giải các bài tập này, cần chú ý phân tích đề bài, xác định các yếu tố quan trọng và lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Trang 44 thường là phần tổng hợp và nâng cao, chứa các bài tập đòi hỏi học sinh phải tư duy sáng tạo và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Ví dụ:
Lời giải cho các bài tập này cần trình bày một cách sáng tạo, độc đáo và có tính thuyết phục cao.
Để học tập hiệu quả và giải quyết các bài tập trong Mục 2 một cách dễ dàng, bạn có thể áp dụng một số mẹo sau:
Việc giải mục 2 trang 42, 43, 44 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán. Hy vọng rằng với những lời giải chi tiết và các mẹo học tập hiệu quả mà toan9.edu.vn cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong việc chinh phục môn học này.
| Bài tập | Trang | Độ khó |
|---|---|---|
| Bài 1 | 42 | Dễ |
| Bài 2 | 42 | Trung bình |
| Bài 3 | 43 | Trung bình |
| Bài 4 | 43 | Khó |
| Bài 5 | 44 | Khó |
| Bài 6 | 44 | Rất khó |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
