Chào mừng bạn đến với toan9.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải các bài tập trong mục 1 trang 32, 33, 34 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức.
Chúng tôi hiểu rằng việc học Toán đôi khi có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, rõ ràng và dễ tiếp thu nhất.
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
\({(a + b)^1} = a + b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có bao nhiêu số hạng?
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải?
Lời giải chi tiết:
Trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có \(n + 1\) số hạng.
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n.
c) Số mũ của a giảm dần từ n về 0 khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.
Lời giải chi tiết:
Ta đã có hàng 6 từ Hoạt động 2 trang 33:
\(\begin{array}{l}{(a + b)^6}\quad \quad 1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\{(a + b)^7}\quad \,1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\{(a + b)^7}\;\;1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\end{array}\)
Hàng 7: \(1 + 6 = 7,{\rm{ }}6 + 15 = 21,{\rm{ }}15 + 20 = 35\)
Hàng 8: \(1 + 7 = 8,{\rm{ 7}} + 21 = 28,{\rm{ 21 + 35 = 56,}}\;{\rm{35 + 35 = 70}}\)
a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
\({(a + b)^1} = a + b = C_1^0a + C_1^1b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = C_2^0{a^2} + C_2^1ab + C_2^2{b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = C_3^0{a^3} + C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} + C_3^3{b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = ...\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5} = ...\)
Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn \(C_4^1\) và \(C_4^3\), \(C_5^2\) và \(C_5^3\). Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_n^k\) và \(C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh \(C_1^0 + C_1^1\) và \(C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1\) và \(C_3^1,...\) Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\) và \(C_n^k.\)
Lời giải chi tiết:
a) \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3a{b^3} + C_4^4{b^4}\)
\(\begin{array}{l}{(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\\ = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\end{array}\)
Dễ thấy \(C_4^1 = C_4^3\) , \(C_5^2 = C_5^3\). Dự đoán \(C_n^k = C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất trong tam giác Pascal: Mọi số (khác 1) đều là tổng của hai số ở ngay phía trên nó.
Ta suy ra: \(C_1^0 + C_1^1 = C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1 = C_3^1\)
Dự đoán: \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k.\)
a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(a + b)^7}\)
b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(2x - 1)^4}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hàng tương ứng của tam giác Pascal
b) Viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Lời giải chi tiết:
a) Khai triển của \({(a + b)^7}\) có dạng
\({(a + b)^7} = {a^7} + ?{a^6}b + ?{a^5}{b^2} + ?{a^4}{b^3} + ?{a^3}{b^4} + ?{a^2}{b^5} + ?a{b^6} + ?{b^7}\)
Các hệ số trong khai triển này là các hệ số ở hàng 7 của tam giác Pascal. Do đó ta có ngay
\({(a + b)^7} = {a^7} + 7{a^6}b + 21{a^5}{b^2} + 35{a^4}{b^3} + 35{a^3}{b^4} + 21{a^2}{b^5} + 7a{b^6} + {b^7}\)
b) Ta viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Dựa vào hàng 4 của tam giác Pascal, ta có
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
Với \(a = 2x,b = - 1\) ta được:
\(\begin{array}{l}{(2x - 1)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}\left( { - 1} \right) + 6.{\left( {2x} \right)^2}{\left( { - 1} \right)^2} + 4.2x.{\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^4}\\ = 16{x^4} - 32{x^3} + 24{x^2} - 8x + 1\end{array}\)
Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp
Phương pháp giải:
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Lời giải chi tiết:
Tính chất đối xứng
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!\left[ {n - (n - k)} \right]!}} = C_n^{n - k}\)
Hệ thức Pascal
\(\begin{array}{l}C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k} \right)!}} + \frac{{(n - 1)!}}{{k!\left( {n - 1 - k} \right)!}}\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\frac{1}{{n - k}} + \frac{1}{k}} \right)\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\frac{n}{{(n - k).k}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = C_n^k\end{array}\)
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
\({(a + b)^1} = a + b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có bao nhiêu số hạng?
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải?
Lời giải chi tiết:
Trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có \(n + 1\) số hạng.
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n.
c) Số mũ của a giảm dần từ n về 0 khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.
Lời giải chi tiết:
Ta đã có hàng 6 từ Hoạt động 2 trang 33:
\(\begin{array}{l}{(a + b)^6}\quad \quad 1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\{(a + b)^7}\quad \,1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\{(a + b)^7}\;\;1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\end{array}\)
Hàng 7: \(1 + 6 = 7,{\rm{ }}6 + 15 = 21,{\rm{ }}15 + 20 = 35\)
Hàng 8: \(1 + 7 = 8,{\rm{ 7}} + 21 = 28,{\rm{ 21 + 35 = 56,}}\;{\rm{35 + 35 = 70}}\)
a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(a + b)^7}\)
b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(2x - 1)^4}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hàng tương ứng của tam giác Pascal
b) Viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Lời giải chi tiết:
a) Khai triển của \({(a + b)^7}\) có dạng
\({(a + b)^7} = {a^7} + ?{a^6}b + ?{a^5}{b^2} + ?{a^4}{b^3} + ?{a^3}{b^4} + ?{a^2}{b^5} + ?a{b^6} + ?{b^7}\)
Các hệ số trong khai triển này là các hệ số ở hàng 7 của tam giác Pascal. Do đó ta có ngay
\({(a + b)^7} = {a^7} + 7{a^6}b + 21{a^5}{b^2} + 35{a^4}{b^3} + 35{a^3}{b^4} + 21{a^2}{b^5} + 7a{b^6} + {b^7}\)
b) Ta viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Dựa vào hàng 4 của tam giác Pascal, ta có
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
Với \(a = 2x,b = - 1\) ta được:
\(\begin{array}{l}{(2x - 1)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}\left( { - 1} \right) + 6.{\left( {2x} \right)^2}{\left( { - 1} \right)^2} + 4.2x.{\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^4}\\ = 16{x^4} - 32{x^3} + 24{x^2} - 8x + 1\end{array}\)
a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
\({(a + b)^1} = a + b = C_1^0a + C_1^1b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = C_2^0{a^2} + C_2^1ab + C_2^2{b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = C_3^0{a^3} + C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} + C_3^3{b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = ...\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5} = ...\)
Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn \(C_4^1\) và \(C_4^3\), \(C_5^2\) và \(C_5^3\). Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_n^k\) và \(C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh \(C_1^0 + C_1^1\) và \(C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1\) và \(C_3^1,...\) Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\) và \(C_n^k.\)
Lời giải chi tiết:
a) \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3a{b^3} + C_4^4{b^4}\)
\(\begin{array}{l}{(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\\ = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\end{array}\)
Dễ thấy \(C_4^1 = C_4^3\) , \(C_5^2 = C_5^3\). Dự đoán \(C_n^k = C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất trong tam giác Pascal: Mọi số (khác 1) đều là tổng của hai số ở ngay phía trên nó.
Ta suy ra: \(C_1^0 + C_1^1 = C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1 = C_3^1\)
Dự đoán: \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k.\)
Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp
Phương pháp giải:
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Lời giải chi tiết:
Tính chất đối xứng
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!\left[ {n - (n - k)} \right]!}} = C_n^{n - k}\)
Hệ thức Pascal
\(\begin{array}{l}C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k} \right)!}} + \frac{{(n - 1)!}}{{k!\left( {n - 1 - k} \right)!}}\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\frac{1}{{n - k}} + \frac{1}{k}} \right)\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\frac{n}{{(n - k).k}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = C_n^k\end{array}\)
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải quyết vấn đề. Việc giải các bài tập trong mục này không chỉ giúp củng cố lý thuyết mà còn rèn luyện khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
Trang 32 thường chứa các bài tập vận dụng kiến thức cơ bản của chủ đề. Các bài tập này thường có dạng trắc nghiệm hoặc tự luận đơn giản, yêu cầu học sinh thực hiện các phép tính hoặc chứng minh các biểu thức toán học. Để giải các bài tập này, bạn cần:
Trang 33 thường chứa các bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích và tổng hợp thông tin. Các bài tập này thường có dạng tự luận phức tạp, yêu cầu học sinh chứng minh các định lý hoặc giải các bài toán thực tế. Để giải các bài tập này, bạn cần:
Trang 34 thường chứa các bài tập tổng hợp, kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau. Các bài tập này thường có dạng bài toán thực tế hoặc bài toán ứng dụng, yêu cầu học sinh phải có khả năng tư duy sáng tạo và giải quyết vấn đề. Một số dạng bài tập thường gặp trên trang 34 bao gồm:
Bài tập: Cho hàm số y = x2 - 4x + 3. Tìm tọa độ đỉnh của parabol.
Giải:
Hàm số y = x2 - 4x + 3 có dạng y = ax2 + bx + c, với a = 1, b = -4, c = 3.
Tọa độ đỉnh của parabol là:
xđỉnh = -b / 2a = -(-4) / (2 * 1) = 2
yđỉnh = (2)2 - 4 * 2 + 3 = -1
Vậy tọa độ đỉnh của parabol là (2; -1).
Để học tốt môn Toán 10, bạn cần:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải các bài tập trong mục 1 trang 32, 33, 34 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
