Chào mừng các em học sinh lớp 7 đến với đề thi học kì 2 môn Toán - Đề số 1, chương trình Kết nối tri thức. Đề thi này được thiết kế để giúp các em ôn tập và đánh giá kiến thức đã học trong học kì.
toan9.edu.vn cung cấp đề thi chính thức, đáp án chi tiết và hướng dẫn giải bài tập. Hãy cùng luyện tập để tự tin bước vào kỳ thi sắp tới!
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Câu 1. Cho tam giác \(MNP\) cân tại \(M\) có \(\angle N = {50^0}\). Số đo của góc \(M\) là:
A. \({65^0}\)
B. \({50^0}\)
C. \({130^0}\)
D. \({80^0}\)
Câu 2. Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle A = {55^0}\,,\,\angle B = {85^0}\) thì quan hệ giữa ba cạnh \(AB,AC,BC\) là:
A. \(BC > AC > AB\)
B. \(AB > BC > AC\)
C. \(AB > AC > BC\)
D. \(AC > BC > AB\)
Câu 3. Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu cạnh?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
Câu 4: Thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi có 2 đường chéo 8 cm, 12 cm; chiều cao 2 cm là:
A. \(96c{m^2}\)
B. \(96c{m^3}\)
C. \(192c{m^3}\)
D. \(192c{m^2}\)
Câu 5. Tính \(2{x^3}.5{x^4}\)ta thu được kết quả là:
A. \(10{x^4}\)
B. \(10{x^3}\)
C. \(10{x^7}\)
D. \(10{x^{12}}\)
Câu 6. Hệ số cao nhất của đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 là
A. 10;
B. -4;
C. 3;
D. -5.
Câu 7. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM = 9 cm. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài GM?
A. GM = 6 cm;
B. GM = 9 cm;
C. GM = 3 cm;
D. GM = 18 cm.
Câu 8. Đội múa có 1 bạn nam và 5 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn để phỏng vấn. Biết mỗi bạn đều có khả năng được chọn. Tính xác suất của biến cố “Bạn được chọn là nam”.
A. 1
B. \(\dfrac{1}{5}\)
C. \(\dfrac{5}{6}\)
D. \(\dfrac{1}{6}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Tìm \(x\) biết:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
Bài 2. (1,5 điểm) Ba đội công nhân tham gia làm đường và phải làm ba khối lượng công việc như nhau. Để hoàn thành công việc, đội I cần 4 ngày, đội II cần 6 ngày và đội III cần 8 ngày. Tính số công nhân của mỗi đội, biết rằng đội I có nhiều hơn đội II là 4 người (năng suất mỗi người như nhau).
Bài 3. (1,5 điểm) Cho các đa thức:
\(A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\)
\(B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\)
\(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\)
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Bài 4. (3,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) , đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right).\)
a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC.\)
b) Từ \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(D.\) Chứng minh \(AD = DH\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm \(AC,\,CD\) cắt \(AH\) tại G. Chứng minh \(B,G,E\) thẳng hàng.
d) Chứng minh chu vi \(\Delta ABC > AH + 3BG\).
Bài 5. (0,5 điểm)
Cho đa thức \(f\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a\) là số nguyên dương và \(f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 2019\). Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số.
I. Trắc nghiệm:
1. D | 2. D | 3. D | 4. B |
5. C | 6. D | 7. C | 8. D |
Câu 1:
Phương pháp:
Tổng ba góc trong 1 tam giác là 180 độ.
Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
Cách giải:
Vì tam giác \(MNP\) cân tại M nên \(\widehat N = \widehat P = 50^\circ \).
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác \(MNP\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat M + 50^\circ + 50^\circ = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat M = 80^\circ \end{array}\)
Chọn D.
Câu 2:
Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.
Cách giải:
Ta có: \(\angle C = {180^0} - \left( {{{55}^0} + {{85}^0}} \right) = {40^0}\).
\( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)
\( \Rightarrow AB < BC < AC\) hay \(AC > BC > AB\).
Chọn D.
Câu 3:
Phương pháp
Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh
Lời giải
Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh.
Chọn D
Câu 4.
Phương pháp
Thể tích hình lăng trụ đứng = Diện tích đáy. Chiều cao
Diện tích hình thoi = \(\dfrac{1}{2}\). Tích 2 đường chéo
Lời giải
Diện tích đáy của lăng trụ là: \(S = \dfrac{1}{2}.8.12 = 48\left( {c{m^2}} \right)\)
Thể tích hình lăng trụ đó là: \(V = S.h = 48.2 = 96\left( {c{m^3}} \right)\)
Chọn B
Câu 5:
Phương pháp:
Ta có công thức nhân hai lũy thừa \({a^n}.{a^m} = {a^{n + m}}\)
Cách giải:
\(2{x^3}.5{x^4} = 10.{x^{3 + 4}} = 10{x^7}\)
Chọn C.
Câu 6:
Phương pháp:
Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức.
Cách giải:
Đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 có hệ số cao nhất là -5.
Chọn D
Chú ý: Hệ số cao nhất không phải hệ số lớn nhất trong đa thức.
Câu 7:
Phương pháp: Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).
Cách giải:
Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.9 = 3(cm)\).
Chọn C.
Câu 8:
Phương pháp:
Tìm tất cả số khả năng có thể xảy ra và số kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
Cách giải:
Mỗi bạn đều có khả năng được chọn nên có 6 kết quả có thể xảy ra.
Có một kết quả thuận lợi cho biến cố “Bạn được chọn là nam”.
Xác suất của biến cố bạn được chọn là nam là \(\dfrac{1}{6}\)
Chọn D.
II. TỰ LUẬN
Bài 1:
Phương pháp:
a) Thực hiện các phép toán với phân số.
b) Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(ad = bc\).
Cách giải:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
\(\begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 11}}{{12}} - \dfrac{1}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 11 - 1}}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 12}}{{12}} = - 1\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - 1\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {2x - 1} \right)^2} = 27.3 = 81\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( { \pm 9} \right)^2}\end{array}\)
Trường hợp 1: \(\begin{array}{l}2x - 1 = 9\\2x = 10\\x = 5\end{array}\) | Trường hợp 2: \(\begin{array}{l}2x - 1 = - 9\\2x = - 8\\x = - 4\end{array}\) |
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\) hoặc \(x = - 4\)
Bài 2:
Phương pháp:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vận dụng kiến thức về tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng của đề bài.
Cách giải:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vì đội I có nhiều hơn đội II là \(4\) người nên: \(x - y = 4\)
Vì số năng suất mỗi người là như sau, nên số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:
\(4x = 6y = 8z\) hay \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}}\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{{x - y}}{{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{4}{{\dfrac{1}{{12}}}} = 48\)
Từ \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = 48 \Rightarrow x = 12\) (tmđk)
\(\dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = 48 \Rightarrow x = 8\) (tmđk)
\(\dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = 48 \Rightarrow x = 6\) (tmđk)
Vậy số công nhân của \(3\) đội lần lượt là: \(12\) công nhân, \(8\) công nhân, \(6\) công nhân.
Bài 3:
Phương pháp:
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Cách giải:
a) Thu gọn:
\(\begin{array}{l}A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} + \left( { - 5\,{x^3} + 4\,{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {7\,x + 2\,x} \right) - 5 + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x\, - 2\end{array}\)
\(\begin{array}{l}B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\\B\left( x \right) = \left( {5\,{x^4} - 3\,{x^4}} \right) + \left( { - 3\,{x^3} - 2\,{x^3}} \right) + \left( {5\,x - 6\,x} \right) + 9\\B\left( x \right) = \,\,\,\,\,\,2\,{x^4}\, - \,5{x^3} - x + 9\end{array}\)
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) + \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} + 2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x - x} \right) + \left( { - 2 + 9} \right)\\ = \,\,\,4\,{x^4} - 6\,{x^3} + 3\,{x^2} + 8\,x + 7\end{array}\)
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} - \,{x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - 2\,{x^4} + 5\,{x^3} + x - 9\\ = \left( {2\,{x^4} - \,2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x + x} \right) + \left( { - 2 - 9} \right)\\ = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,{x^3} + \,3\,{x^2} + 10\,x - 11\end{array}\)
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Ta có: \(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\).
Vì \({x^4}\, > 0,\,\,\forall \,x\) và \({x^2} > 0,\,\forall \,x\) nên \(C\left( x \right) > 0,\,\,\forall \,x.\)
\( \Rightarrow \) không có giá trị nào của \(x\) làm cho \(C\left( x \right) = 0\).
\( \Rightarrow \,C\left( x \right)\) là đa thức không có nghiệm.
Bài 4: Phương pháp:
a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
b) Chứng minh \(\Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c) Chứng minh \(DB = DA\) hay D là trung điểm của AB.
Suy ra \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), \(BE\) là một đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên nó đi qua G. Từ đó suy ra \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Chứng minh dựa vào bất đẳng thức tam giác, tính chất đường trung tuyến của tam giác.
Cách giải:
a) Xét hai tam giác: \(\Delta AHB\& \Delta AHC.\)
Ta có: \(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\,\left( {gt} \right)\)
\(AB = AC\) và \(\angle B = \angle C\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))
\( \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC.\) (cạnh huyền góc nhọn)
b) Chứng minh \(AD = DH\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác
\( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}\) (2)
Mà \(\angle {H_2} = \angle {A_2}\) (1) (hai góc ở vị trí so le trong)
Từu (1) và (2) suy ra: \(\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\left( 3 \right)\)
Tam giác \(DHA\) có hai góc ở đáy bằng nhau \(\left( {\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\,\,(cmt)} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c)
Vì \(DH//AC\left( {gt} \right)\) nên \(\angle ACB = \angle {H_1}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) (1)
Mà \(\angle ACB = \angle ABC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại A) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)
Xét \(\Delta DHB\) có: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)(cmt)
Nên \(\Delta DHB\) cân tại D. Do đó: \(DB = DH\)
Mặt khác: \(AD = DH\) (chứng minh a))
Suy ra: \(AD = DB\) Tức D là trung điểm của AB.
Xét \(\Delta ABC\) có DC là đường trung tuyến ứng với cạnh AB
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
Mà \(CD \cap AH = G\) (giả thiết)
\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Do đó: đường trung tuyến BE đi qua điểm G, hay nói cách khác \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Ta có: \(DC,BE,AH\) lần lượt là đường trung tuyến ứng với các cạnh \(AB;AC;BC\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}2DC < AC + BC\\2BE < AB + BC\\2AH < AB + BC\\ \Rightarrow 2.\left( {DC + BE + AH} \right) < 2.\left( {AB + AC + BC} \right)\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,DC + BE + AH < AB + AC + BC\end{array}\)
Mà \(DC = BE\,\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\begin{array}{l}\, \Rightarrow DC + BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.\dfrac{3}{2}.BG + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3BG + AH < AB + AC + BC\\Hay\,\,AB + AC + BC > AH + 3BG\,\end{array}\)
Vậy: \(AB + AC + BC > AH + 3BG\)
Câu 5:
Phương pháp:
Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là một hợp số ta chứng minh nó có thể phân tích được thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn nó.
*Lưu ý: Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó.
Cách giải:
Ta có:
\(f\left( 5 \right) = 125.a + 25.b + 5.c + d\)
\(f\left( 4 \right) = 64a + 16.b + 4.c + d\)
\( \Rightarrow f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 61a + 9b + c = 2019\)
Lại có:
\(f\left( 7 \right) = 343.a + 49.b + 7c + d\)
\(f\left( 2 \right) = 8a + 4b + 2c + d\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\\ = 335a + 45b + 5c\\ = 5.\left( {67a + 9b + c} \right)\\ = 5.\left( {61a + 9b + c + 6a} \right)\\ = 5.\left( {2019 + 6a} \right)\end{array}\)
Vì \(5.\left( {2019 + 6a}\right) \vdots 5\) nên \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right) \vdots 5\) hay \( f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số. (đpcm).
Tải về
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Câu 1. Cho tam giác \(MNP\) cân tại \(M\) có \(\angle N = {50^0}\). Số đo của góc \(M\) là:
A. \({65^0}\)
B. \({50^0}\)
C. \({130^0}\)
D. \({80^0}\)
Câu 2. Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle A = {55^0}\,,\,\angle B = {85^0}\) thì quan hệ giữa ba cạnh \(AB,AC,BC\) là:
A. \(BC > AC > AB\)
B. \(AB > BC > AC\)
C. \(AB > AC > BC\)
D. \(AC > BC > AB\)
Câu 3. Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu cạnh?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
Câu 4: Thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi có 2 đường chéo 8 cm, 12 cm; chiều cao 2 cm là:
A. \(96c{m^2}\)
B. \(96c{m^3}\)
C. \(192c{m^3}\)
D. \(192c{m^2}\)
Câu 5. Tính \(2{x^3}.5{x^4}\)ta thu được kết quả là:
A. \(10{x^4}\)
B. \(10{x^3}\)
C. \(10{x^7}\)
D. \(10{x^{12}}\)
Câu 6. Hệ số cao nhất của đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 là
A. 10;
B. -4;
C. 3;
D. -5.
Câu 7. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM = 9 cm. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài GM?
A. GM = 6 cm;
B. GM = 9 cm;
C. GM = 3 cm;
D. GM = 18 cm.
Câu 8. Đội múa có 1 bạn nam và 5 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn để phỏng vấn. Biết mỗi bạn đều có khả năng được chọn. Tính xác suất của biến cố “Bạn được chọn là nam”.
A. 1
B. \(\dfrac{1}{5}\)
C. \(\dfrac{5}{6}\)
D. \(\dfrac{1}{6}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Tìm \(x\) biết:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
Bài 2. (1,5 điểm) Ba đội công nhân tham gia làm đường và phải làm ba khối lượng công việc như nhau. Để hoàn thành công việc, đội I cần 4 ngày, đội II cần 6 ngày và đội III cần 8 ngày. Tính số công nhân của mỗi đội, biết rằng đội I có nhiều hơn đội II là 4 người (năng suất mỗi người như nhau).
Bài 3. (1,5 điểm) Cho các đa thức:
\(A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\)
\(B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\)
\(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\)
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Bài 4. (3,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) , đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right).\)
a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC.\)
b) Từ \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(D.\) Chứng minh \(AD = DH\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm \(AC,\,CD\) cắt \(AH\) tại G. Chứng minh \(B,G,E\) thẳng hàng.
d) Chứng minh chu vi \(\Delta ABC > AH + 3BG\).
Bài 5. (0,5 điểm)
Cho đa thức \(f\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a\) là số nguyên dương và \(f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 2019\). Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số.
I. Trắc nghiệm:
1. D | 2. D | 3. D | 4. B |
5. C | 6. D | 7. C | 8. D |
Câu 1:
Phương pháp:
Tổng ba góc trong 1 tam giác là 180 độ.
Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
Cách giải:
Vì tam giác \(MNP\) cân tại M nên \(\widehat N = \widehat P = 50^\circ \).
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác \(MNP\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat M + 50^\circ + 50^\circ = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat M = 80^\circ \end{array}\)
Chọn D.
Câu 2:
Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.
Cách giải:
Ta có: \(\angle C = {180^0} - \left( {{{55}^0} + {{85}^0}} \right) = {40^0}\).
\( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)
\( \Rightarrow AB < BC < AC\) hay \(AC > BC > AB\).
Chọn D.
Câu 3:
Phương pháp
Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh
Lời giải
Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh.
Chọn D
Câu 4.
Phương pháp
Thể tích hình lăng trụ đứng = Diện tích đáy. Chiều cao
Diện tích hình thoi = \(\dfrac{1}{2}\). Tích 2 đường chéo
Lời giải
Diện tích đáy của lăng trụ là: \(S = \dfrac{1}{2}.8.12 = 48\left( {c{m^2}} \right)\)
Thể tích hình lăng trụ đó là: \(V = S.h = 48.2 = 96\left( {c{m^3}} \right)\)
Chọn B
Câu 5:
Phương pháp:
Ta có công thức nhân hai lũy thừa \({a^n}.{a^m} = {a^{n + m}}\)
Cách giải:
\(2{x^3}.5{x^4} = 10.{x^{3 + 4}} = 10{x^7}\)
Chọn C.
Câu 6:
Phương pháp:
Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức.
Cách giải:
Đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 có hệ số cao nhất là -5.
Chọn D
Chú ý: Hệ số cao nhất không phải hệ số lớn nhất trong đa thức.
Câu 7:
Phương pháp: Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).
Cách giải:
Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.9 = 3(cm)\).
Chọn C.
Câu 8:
Phương pháp:
Tìm tất cả số khả năng có thể xảy ra và số kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
Cách giải:
Mỗi bạn đều có khả năng được chọn nên có 6 kết quả có thể xảy ra.
Có một kết quả thuận lợi cho biến cố “Bạn được chọn là nam”.
Xác suất của biến cố bạn được chọn là nam là \(\dfrac{1}{6}\)
Chọn D.
II. TỰ LUẬN
Bài 1:
Phương pháp:
a) Thực hiện các phép toán với phân số.
b) Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(ad = bc\).
Cách giải:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
\(\begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 11}}{{12}} - \dfrac{1}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 11 - 1}}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 12}}{{12}} = - 1\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - 1\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {2x - 1} \right)^2} = 27.3 = 81\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( { \pm 9} \right)^2}\end{array}\)
Trường hợp 1: \(\begin{array}{l}2x - 1 = 9\\2x = 10\\x = 5\end{array}\) | Trường hợp 2: \(\begin{array}{l}2x - 1 = - 9\\2x = - 8\\x = - 4\end{array}\) |
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\) hoặc \(x = - 4\)
Bài 2:
Phương pháp:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vận dụng kiến thức về tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng của đề bài.
Cách giải:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vì đội I có nhiều hơn đội II là \(4\) người nên: \(x - y = 4\)
Vì số năng suất mỗi người là như sau, nên số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:
\(4x = 6y = 8z\) hay \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}}\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{{x - y}}{{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{4}{{\dfrac{1}{{12}}}} = 48\)
Từ \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = 48 \Rightarrow x = 12\) (tmđk)
\(\dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = 48 \Rightarrow x = 8\) (tmđk)
\(\dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = 48 \Rightarrow x = 6\) (tmđk)
Vậy số công nhân của \(3\) đội lần lượt là: \(12\) công nhân, \(8\) công nhân, \(6\) công nhân.
Bài 3:
Phương pháp:
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Cách giải:
a) Thu gọn:
\(\begin{array}{l}A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} + \left( { - 5\,{x^3} + 4\,{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {7\,x + 2\,x} \right) - 5 + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x\, - 2\end{array}\)
\(\begin{array}{l}B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\\B\left( x \right) = \left( {5\,{x^4} - 3\,{x^4}} \right) + \left( { - 3\,{x^3} - 2\,{x^3}} \right) + \left( {5\,x - 6\,x} \right) + 9\\B\left( x \right) = \,\,\,\,\,\,2\,{x^4}\, - \,5{x^3} - x + 9\end{array}\)
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) + \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} + 2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x - x} \right) + \left( { - 2 + 9} \right)\\ = \,\,\,4\,{x^4} - 6\,{x^3} + 3\,{x^2} + 8\,x + 7\end{array}\)
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} - \,{x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - 2\,{x^4} + 5\,{x^3} + x - 9\\ = \left( {2\,{x^4} - \,2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x + x} \right) + \left( { - 2 - 9} \right)\\ = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,{x^3} + \,3\,{x^2} + 10\,x - 11\end{array}\)
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Ta có: \(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\).
Vì \({x^4}\, > 0,\,\,\forall \,x\) và \({x^2} > 0,\,\forall \,x\) nên \(C\left( x \right) > 0,\,\,\forall \,x.\)
\( \Rightarrow \) không có giá trị nào của \(x\) làm cho \(C\left( x \right) = 0\).
\( \Rightarrow \,C\left( x \right)\) là đa thức không có nghiệm.
Bài 4: Phương pháp:
a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
b) Chứng minh \(\Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c) Chứng minh \(DB = DA\) hay D là trung điểm của AB.
Suy ra \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), \(BE\) là một đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên nó đi qua G. Từ đó suy ra \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Chứng minh dựa vào bất đẳng thức tam giác, tính chất đường trung tuyến của tam giác.
Cách giải:
a) Xét hai tam giác: \(\Delta AHB\& \Delta AHC.\)
Ta có: \(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\,\left( {gt} \right)\)
\(AB = AC\) và \(\angle B = \angle C\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))
\( \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC.\) (cạnh huyền góc nhọn)
b) Chứng minh \(AD = DH\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác
\( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}\) (2)
Mà \(\angle {H_2} = \angle {A_2}\) (1) (hai góc ở vị trí so le trong)
Từu (1) và (2) suy ra: \(\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\left( 3 \right)\)
Tam giác \(DHA\) có hai góc ở đáy bằng nhau \(\left( {\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\,\,(cmt)} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c)
Vì \(DH//AC\left( {gt} \right)\) nên \(\angle ACB = \angle {H_1}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) (1)
Mà \(\angle ACB = \angle ABC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại A) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)
Xét \(\Delta DHB\) có: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)(cmt)
Nên \(\Delta DHB\) cân tại D. Do đó: \(DB = DH\)
Mặt khác: \(AD = DH\) (chứng minh a))
Suy ra: \(AD = DB\) Tức D là trung điểm của AB.
Xét \(\Delta ABC\) có DC là đường trung tuyến ứng với cạnh AB
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
Mà \(CD \cap AH = G\) (giả thiết)
\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Do đó: đường trung tuyến BE đi qua điểm G, hay nói cách khác \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Ta có: \(DC,BE,AH\) lần lượt là đường trung tuyến ứng với các cạnh \(AB;AC;BC\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}2DC < AC + BC\\2BE < AB + BC\\2AH < AB + BC\\ \Rightarrow 2.\left( {DC + BE + AH} \right) < 2.\left( {AB + AC + BC} \right)\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,DC + BE + AH < AB + AC + BC\end{array}\)
Mà \(DC = BE\,\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\begin{array}{l}\, \Rightarrow DC + BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.\dfrac{3}{2}.BG + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3BG + AH < AB + AC + BC\\Hay\,\,AB + AC + BC > AH + 3BG\,\end{array}\)
Vậy: \(AB + AC + BC > AH + 3BG\)
Câu 5:
Phương pháp:
Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là một hợp số ta chứng minh nó có thể phân tích được thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn nó.
*Lưu ý: Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó.
Cách giải:
Ta có:
\(f\left( 5 \right) = 125.a + 25.b + 5.c + d\)
\(f\left( 4 \right) = 64a + 16.b + 4.c + d\)
\( \Rightarrow f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 61a + 9b + c = 2019\)
Lại có:
\(f\left( 7 \right) = 343.a + 49.b + 7c + d\)
\(f\left( 2 \right) = 8a + 4b + 2c + d\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\\ = 335a + 45b + 5c\\ = 5.\left( {67a + 9b + c} \right)\\ = 5.\left( {61a + 9b + c + 6a} \right)\\ = 5.\left( {2019 + 6a} \right)\end{array}\)
Vì \(5.\left( {2019 + 6a}\right) \vdots 5\) nên \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right) \vdots 5\) hay \( f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số. (đpcm).
Kỳ thi học kì 2 Toán 7 là một bước quan trọng để đánh giá năng lực học tập của học sinh trong suốt một học kì. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức về các khái niệm, định lý mà còn đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế. Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 1 - Kết nối tri thức là một trong những đề thi quan trọng mà học sinh cần chuẩn bị kỹ lưỡng.
Đề thi thường bao gồm các nội dung sau:
Đề thi thường được chia thành các phần:
Để đạt kết quả tốt trong kỳ thi, học sinh cần:
Bài toán: Giải phương trình sau: 2x + 5 = 11
Lời giải:
Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 3
Học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau để ôn tập:
Hãy dành thời gian ôn tập một cách khoa học và hợp lý. Đừng quá căng thẳng, hãy giữ tinh thần thoải mái và tự tin. Chúc các em đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi học kì 2 Toán 7!
| Chủ đề | Mức độ quan trọng |
|---|---|
| Số học | Cao |
| Đại số | Trung bình |
| Hình học | Trung bình |
| Thống kê và xác suất | Thấp |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
