Chào mừng các em học sinh đến với bài học về Dạng 2: Đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng trong chương trình Ôn hè Toán 6 tại toan9.edu.vn. Đây là một chủ đề quan trọng, nền tảng cho các kiến thức hình học nâng cao hơn.
Trong bài học này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về khái niệm đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng, cách tính độ dài đoạn thẳng và các bài tập vận dụng để hiểu rõ hơn về chủ đề này.
1. Hai đoạn thẳng bằng nhau Đoạn thẳng AB là hình gồm hai điểm A, B và tất cả các điểm nằm giữa giữa A và B.
1. Hai đoạn thẳng bằng nhau
Đoạn thẳng AB là hình gồm hai điểm A, B và tất cả các điểm nằm giữa giữa A và B.
Đoạn thẳng AB còn gọi là đoạn thẳng BA.
Hai điểm A, B gọi là hai đầu mút (hoặc hai mút) của đoạn thẳng AB.
2. Độ dài đoạn thẳng
- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương.
- Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
- Nếu hai điểm trùng nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Ví dụ: Đoạn thẳng CD dài 4 cm
*So sánh hai đoạn thẳng
Ta so sánh hai đoạn thẳng bằng cách so sánh độ dài của chúng.
+ Ta có thể dùng mệnh đề: “Nếu \(AM + MB \ne AB\) thì điểm \(M\) không nằm giữa \(A\) và \(B\)”
+ Nếu điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\); điểm \(N\) nằm giữa \(M\) và \(B\) thì \(AM + MN + NB = AB.\)
3. Trung điểm của đoạn thẳng
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.
Tóm tắt:
\(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB\( \Leftrightarrow \)\({\rm{IA\; = \;IB}}.\) và \(I\) nằm giữa hai điểm A;B.
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI + IB = AB}\\{{\rm{IA\; = \;IB}}}\end{array}} \right.\)
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow {\rm{AI\; = \;BI\; = }}\dfrac{1}{2}AB\)
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Lời giải chi tiết:
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Phương pháp
+ Đoạn thẳng \(AB\) là hình gồm điểm \(A,\,B\) và tất cả các điểm nằm giữa \(AB\).
+ Hai đoạn thẳng cắt nhau có một điểm chung.
Lời giải
a) Các đoạn thẳng có trên hình vẽ là: \(AB,\,\,AD,\,\,AC,\,\,BD,\,\,BC,\,\,DC\)
b) Các cặp đoạn thẳng không cắt nhau là: \(AB\) và \(DC\), \(AC\) và \(BD\)
c) Tia \(Ay\) cắt đoạn thẳng \(BC\) tại điểm \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C\).
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Phương pháp
Từ \(n\) điểm \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)\) ta có thể kẻ được \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Lời giải
Qua một điểm và \(\left( {n - 1} \right)\) điểm còn lại ta kẻ được \(n - 1\) đoạn thẳng.
Với \(n\) điểm ta kẻ được \(n\left( {n - 1} \right)\) đoạn thẳng.
Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, số đoạn thẳng kẻ được là \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Theo đề bài, ta có: \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 120\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 120.2\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 240\)
Mà \(240 = 16.15\) nên \(n = 16\).
Vậy \(n = 16\).
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\) (vì \(3cm < 6cm\)) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
b) Vì điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) nên ta có:
\(OA + AB = OB\)
\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 6cm - 3cm = 3cm\)
\( \Rightarrow OA = AB = 3cm\).
Vậy \(OA = AB\).
c) Ta có:
+) Điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
+) \(OA = AB\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(A\) là trung điểm của \(OB\).
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
+) Định nghĩa hai tia đối nhau.
Lời giải
a) Vì điểm \(O\) nằm trên đường thẳng \(xy\) nên \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau.
Vì \(M \in Ox\), \(N \in Oy\) mà \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau nên điểm \(O\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\).
Ta lại có: \(OM = 2cm,\,\,ON = 2cm\)\( \Rightarrow OM = ON\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).
b) Trên tia \(Oy\) ta có \(ON < OP\,\,\left( {2\,cm < a\,cm} \right)\) nên điểm \(N\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(P\).
Khi đó, ta có: \(ON + NP = OP\) \( \Rightarrow NP = OP - ON = a - 2\,\,\left( {cm} \right)\)
Để \(N\) là trung điểm của \(OP\) thì \(NP = ON\)\( \Rightarrow a - 2 = 2\)\( \Rightarrow a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Vậy \(a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\,\,\left( {2\,cm < 5\,cm} \right)\) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
Ta có: \(OA + AB = OB\)\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 5cm - 2cm = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OB < OC\,\,\left( {5\,cm < 8\,cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(C\).
Ta có: \(OB + BC = OC\)\( \Rightarrow BC = OC - OB\)\( = 8cm - 5cm = 3cm\)
\( \Rightarrow AB = BC = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB < OC\) \(\left( {2cm < 5cm < 8cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\).
Ta có: điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A,\,\,C\) và \(AB = BC = 3cm\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).
b) Ta có hình vẽ:
Vì:
+ Điểm \(H\) là trung điểm của \(OA\) nên \(OH = HA = \dfrac{{OA}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AI = IB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BK = KC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
Do \(H\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(A\) nên điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\). Ta có:
\(HA + AI = HI\) \( \Rightarrow HI = 1cm + 1,5cm = 2,5cm\)
Do \(K\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(B\) nên điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\). Ta có:
\(IB + BK = IK\) \( \Rightarrow KI = 1,5cm + 1,5cm = 3cm\)
Ta có:
+ Điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\) nên \(H\) và \(A\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\) nên \(K\) và \(B\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(I\) nằm giữa \(A\) và \(B\) nên \(B\) và \(A\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, \(H\) và \(K\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, điểm \(I\) nằm giữa hai điểm \(H\) và \(K\).
Ta có: \(IH + IK = HK\)\( \Rightarrow HK = 2,5cm + 3cm = 5,5cm\).
1. Hai đoạn thẳng bằng nhau
Đoạn thẳng AB là hình gồm hai điểm A, B và tất cả các điểm nằm giữa giữa A và B.
Đoạn thẳng AB còn gọi là đoạn thẳng BA.
Hai điểm A, B gọi là hai đầu mút (hoặc hai mút) của đoạn thẳng AB.
2. Độ dài đoạn thẳng
- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương.
- Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
- Nếu hai điểm trùng nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Ví dụ: Đoạn thẳng CD dài 4 cm
*So sánh hai đoạn thẳng
Ta so sánh hai đoạn thẳng bằng cách so sánh độ dài của chúng.
+ Ta có thể dùng mệnh đề: “Nếu \(AM + MB \ne AB\) thì điểm \(M\) không nằm giữa \(A\) và \(B\)”
+ Nếu điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\); điểm \(N\) nằm giữa \(M\) và \(B\) thì \(AM + MN + NB = AB.\)
3. Trung điểm của đoạn thẳng
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.
Tóm tắt:
\(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB\( \Leftrightarrow \)\({\rm{IA\; = \;IB}}.\) và \(I\) nằm giữa hai điểm A;B.
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI + IB = AB}\\{{\rm{IA\; = \;IB}}}\end{array}} \right.\)
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow {\rm{AI\; = \;BI\; = }}\dfrac{1}{2}AB\)
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Lời giải chi tiết:
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Phương pháp
+ Đoạn thẳng \(AB\) là hình gồm điểm \(A,\,B\) và tất cả các điểm nằm giữa \(AB\).
+ Hai đoạn thẳng cắt nhau có một điểm chung.
Lời giải
a) Các đoạn thẳng có trên hình vẽ là: \(AB,\,\,AD,\,\,AC,\,\,BD,\,\,BC,\,\,DC\)
b) Các cặp đoạn thẳng không cắt nhau là: \(AB\) và \(DC\), \(AC\) và \(BD\)
c) Tia \(Ay\) cắt đoạn thẳng \(BC\) tại điểm \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C\).
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Phương pháp
Từ \(n\) điểm \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)\) ta có thể kẻ được \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Lời giải
Qua một điểm và \(\left( {n - 1} \right)\) điểm còn lại ta kẻ được \(n - 1\) đoạn thẳng.
Với \(n\) điểm ta kẻ được \(n\left( {n - 1} \right)\) đoạn thẳng.
Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, số đoạn thẳng kẻ được là \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Theo đề bài, ta có: \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 120\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 120.2\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 240\)
Mà \(240 = 16.15\) nên \(n = 16\).
Vậy \(n = 16\).
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\) (vì \(3cm < 6cm\)) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
b) Vì điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) nên ta có:
\(OA + AB = OB\)
\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 6cm - 3cm = 3cm\)
\( \Rightarrow OA = AB = 3cm\).
Vậy \(OA = AB\).
c) Ta có:
+) Điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
+) \(OA = AB\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(A\) là trung điểm của \(OB\).
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
+) Định nghĩa hai tia đối nhau.
Lời giải
a) Vì điểm \(O\) nằm trên đường thẳng \(xy\) nên \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau.
Vì \(M \in Ox\), \(N \in Oy\) mà \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau nên điểm \(O\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\).
Ta lại có: \(OM = 2cm,\,\,ON = 2cm\)\( \Rightarrow OM = ON\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).
b) Trên tia \(Oy\) ta có \(ON < OP\,\,\left( {2\,cm < a\,cm} \right)\) nên điểm \(N\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(P\).
Khi đó, ta có: \(ON + NP = OP\) \( \Rightarrow NP = OP - ON = a - 2\,\,\left( {cm} \right)\)
Để \(N\) là trung điểm của \(OP\) thì \(NP = ON\)\( \Rightarrow a - 2 = 2\)\( \Rightarrow a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Vậy \(a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\,\,\left( {2\,cm < 5\,cm} \right)\) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
Ta có: \(OA + AB = OB\)\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 5cm - 2cm = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OB < OC\,\,\left( {5\,cm < 8\,cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(C\).
Ta có: \(OB + BC = OC\)\( \Rightarrow BC = OC - OB\)\( = 8cm - 5cm = 3cm\)
\( \Rightarrow AB = BC = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB < OC\) \(\left( {2cm < 5cm < 8cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\).
Ta có: điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A,\,\,C\) và \(AB = BC = 3cm\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).
b) Ta có hình vẽ:
Vì:
+ Điểm \(H\) là trung điểm của \(OA\) nên \(OH = HA = \dfrac{{OA}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AI = IB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BK = KC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
Do \(H\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(A\) nên điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\). Ta có:
\(HA + AI = HI\) \( \Rightarrow HI = 1cm + 1,5cm = 2,5cm\)
Do \(K\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(B\) nên điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\). Ta có:
\(IB + BK = IK\) \( \Rightarrow KI = 1,5cm + 1,5cm = 3cm\)
Ta có:
+ Điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\) nên \(H\) và \(A\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\) nên \(K\) và \(B\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(I\) nằm giữa \(A\) và \(B\) nên \(B\) và \(A\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, \(H\) và \(K\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, điểm \(I\) nằm giữa hai điểm \(H\) và \(K\).
Ta có: \(IH + IK = HK\)\( \Rightarrow HK = 2,5cm + 3cm = 5,5cm\).
Chào mừng các em học sinh đến với bài học quan trọng trong chương trình ôn hè Toán 6: Dạng 2 - Đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng. Đây là nền tảng cơ bản của hình học, giúp các em hiểu rõ hơn về các khái niệm và tính chất liên quan đến đường thẳng và các đoạn trên đó.
1. Định nghĩa: Đoạn thẳng là hình gồm hai điểm và tất cả các điểm nằm giữa hai điểm đó. Hai điểm đó gọi là các mút của đoạn thẳng.
2. Ký hiệu: Đoạn thẳng AB được ký hiệu là AB (hoặc BA).
3. Độ dài đoạn thẳng: Độ dài của đoạn thẳng AB được ký hiệu là AB (không có dấu ngoặc). Độ dài đoạn thẳng là khoảng cách giữa hai mút của nó.
1. Định nghĩa: Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm sao cho MA = MB.
2. Tính chất: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB = AB/2.
3. Cách tìm trung điểm: Để tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB, ta có thể sử dụng thước kẻ hoặc công thức: MA = MB = AB/2.
Ngoài các kiến thức cơ bản về đoạn thẳng và trung điểm, các em có thể tìm hiểu thêm về:
Để nắm vững kiến thức về đoạn thẳng và trung điểm, các em nên luyện tập thêm các bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy nhiều bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và trên các trang web học toán online như toan9.edu.vn.
Dạng 2: Đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 6. Việc nắm vững kiến thức về đoạn thẳng và trung điểm sẽ giúp các em giải quyết các bài tập hình học một cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Chúc các em học tập tốt!
| Khái niệm | Định nghĩa |
|---|---|
| Đoạn thẳng | Hình gồm hai điểm và tất cả các điểm nằm giữa hai điểm đó. |
| Trung điểm | Điểm sao cho MA = MB. |
| Bảng tóm tắt các khái niệm quan trọng. | |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
