Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - SBT Toán 12 Cánh diều

I. Giới thiệu chung

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm: tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số. Việc nắm vững phương pháp này không chỉ quan trọng cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn có ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực.

II. Lý thuyết trọng tâm

1. Điều kiện để hàm số đạt GTLN, GTNN: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm f'(x) trên (a, b) thì:
   • Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số không đơn điệu trên [a, b].
   • Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số đồng biến trên [a, b]. GTLN đạt tại x = b, GTNN đạt tại x = a.
   • Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số nghịch biến trên [a, b]. GTLN đạt tại x = a, GTNN đạt tại x = b.
2. Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn:
   • Bước 1: Tính đạo hàm f'(x).
   • Bước 2: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn.
   • Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các mút của đoạn.
   • Bước 4: So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1, 3].

Giải:

1. f'(x) = 3x² - 6x
2. Giải f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2. Cả hai nghiệm đều thuộc đoạn [-1, 3].
3. Tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và mút đoạn:
   • f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 2 = -2
   • f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2
   • f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = -2
   • f(3) = 3³ - 3(3)² + 2 = 2
4. So sánh các giá trị: GTLN là 2 (đạt tại x = 0 và x = 3), GTNN là -2 (đạt tại x = -1 và x = 2).

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên đoạn [0, 4].

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = -x³ + 3x² - 2 trên đoạn [-1, 2].

V. Lưu ý quan trọng

Khi tìm GTLN và GTNN của hàm số, cần chú ý kiểm tra xem hàm số có liên tục trên đoạn đang xét hay không. Nếu hàm số không liên tục, cần chia đoạn thành các đoạn nhỏ hơn và xét trên từng đoạn một. Ngoài ra, cần kiểm tra các điểm không xác định của đạo hàm để đảm bảo không bỏ sót các điểm có thể là điểm cực trị.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chúc các em học tập tốt!