Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn - SGK Toán 9 - Cánh diều

I. Khái niệm tứ giác nội tiếp đường tròn

Một tứ giác được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn nếu bốn đỉnh của nó cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.

II. Điều kiện để một tứ giác nội tiếp đường tròn

Một tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện bằng 180° (hoặc π radian). Tức là: ∠A + ∠C = 180° và ∠B + ∠D = 180°.

Chứng minh:

• Chiều thuận: Nếu ∠A + ∠C = 180°, ta có thể chứng minh bốn đỉnh A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
• Chiều nghịch: Nếu A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn, ta có thể chứng minh ∠A + ∠C = 180°.

III. Tính chất của tứ giác nội tiếp đường tròn

1. Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, góc tạo bởi một cạnh và một đường chéo bằng góc nội tiếp chắn cung đối diện.

2. Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, góc tạo bởi hai đường chéo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chặn bởi hai đường chéo.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết ∠A = 80°. Tính ∠C.

Giải: Vì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn nên ∠A + ∠C = 180°. Suy ra ∠C = 180° - ∠A = 180° - 80° = 100°.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Giải:

1. Vì D là điểm đối xứng của A qua O nên OA = OD và ∠AOD = 180°.
2. Suy ra AD là đường kính của đường tròn.
3. Do đó, ∠ABD = ∠ACD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
4. Vậy tứ giác ABCD có ba góc vuông là ∠A, ∠B, ∠C, suy ra ∠D = 90° và ABCD là hình chữ nhật.

V. Luyện tập

1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết ∠B = 70° và ∠D = 110°. Tính ∠A và ∠C.

2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với BC khi và chỉ khi tam giác ABC cân tại A.

3. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng AD = BC.

VI. Kết luận

Bài học về tứ giác nội tiếp đường tròn cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng trong hình học. Việc nắm vững các khái niệm, điều kiện và tính chất của tứ giác nội tiếp đường tròn sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.

Chúc các em học tốt!