Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo

I. Lý thuyết cơ bản

Trong chương trình Toán 12, việc khảo sát hàm số đóng vai trò quan trọng. Một trong những nội dung cốt lõi của việc khảo sát hàm số là xác định tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Dưới đây là tóm tắt lý thuyết quan trọng:

1. Tính đơn điệu của hàm số

Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) < f(x2). Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) > f(x2).

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm f'(x):

2. Cực trị của hàm số

Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x thuộc (a, b).

Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x thuộc (a, b).

Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Giải:

1. Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
2. Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x(3x - 6) = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
3. Xét dấu của f'(x):
• Với x < 0: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (-∞, 0).
• Với 0 < x < 2: f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến trên (0, 2).
• Với x > 2: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (2, +∞).
4. Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, f(2) = -2.

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = x² - 4x + 3.

Bài 2: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1.

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số f(x) = x⁴ - 4x² + 3.

IV. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về tính đơn điệu và cực trị, cần chú ý:

Hy vọng bài học này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số trong SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tốt!