Trắc nghiệm Bài 6: Hình thoi Toán 8 Cánh diều

Câu A, C, D đúng theo dấu hiệu nhận biết hình thoi.

Câu B sai vì 2 đường chéo không cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành

+ Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ngoài ra còn có

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau.

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo, hai trục đối xứng là hai đường chéo của hình thoi.

Hình 1 là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau.

Hình 2 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

Hình 3 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

Vì theo dấu hiệu nhận biết hình thoi

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc bằng nhau nhưng bốn cạnh không bằng nhau nên không là hình thoi.

Chu vi hình thoi bằng cạnh nhân 4.

Vậy cạnh hình thoi là 32 : 4 = 8 cm.

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi (đúng theo định nghĩa hình thoi)

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC = 10cm, BD = 24cm.

Do ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\)

\(\begin{array}{l}AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.10 = 5cm\\HB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}.24 = 12cm\end{array}\)

Xét tam giác AH vuông tại H ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {5^2} + {12^2} = 25 + 144 = 169.\)

Suy ra AB= 13 cm.

Vì hình thoi ABCD có chu vi bằng 16 cm nên cạnh hình thoi có độ dài là 16 : 4 = 4 cm.

Suy ra AD = 4 cm. Xét tam giác AHD vuông tại H có AH = 2cm, AD = 4cm nên

\(AH = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \widehat {ADH} = {30^0}\) (theo tính chất).

Suy ra \(\widehat {DAB} = {180^0} - \widehat {ADC} = {180^0} - {30^0} = {150^0}.\) (Vì ABCD là hình thoi )

Nên hình thoi ABCD có:

\(\widehat A = \widehat C = {150^0};\widehat B = \widehat D = {30^0}\) (Vì hai góc đối bằng nhau).

MK = KN = NI = IM suy ra tứ giác KMIN là hình thoi.

Xét các tam giác BCD, CAB, ADC, DBA ta có:

\(MK = \frac{1}{2}CD;IM = \frac{1}{2}AB;NI = \frac{1}{2}CD;KN = \frac{1}{2}AB\)

Mà AB = CD (giả thiết) .

Suy ra MK = KN = NI = IM.

Tứ giác KMIN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Định lí:

+ Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo của hình thoi.

+ Có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Mở rộng:

+ Trong hình chữ nhật, các trung điểm của các cạnh hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

+ Trong hình thoi, các trung điểm của bốn cạnh hình thoi là các hình chữ nhật.

→ Đáp án D sai.

\(\left( {8.10} \right):2 = 40c{m^2}\)

Độ dài đường chéo còn lại là:

\(\frac{5}{3}.2:\frac{{25}}{2} = \frac{4}{{15}}(dm)\)

Do ABCD là hình thoi nên: \(AO = OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{{2}}.16 = 8cm\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABO ta có:

\(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100 \Rightarrow AB = 10cm\)

Vì ABCD là hình thoi nên AB = CD = 10cm

Chứng minh tứ giác \(AMBM'\) là hình bình hành có \(M{M'} \bot AB\)nên \(AMBM'\) là hình thoi

Vì \({M'}\) đối xứng M qua D nên \(DM = D{M'}\)(1)

Ta có: MD // AC

Mặt khác \(\Delta ABC\) vuông ở A nên \(AB \bot AC\).(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DM \bot AB \Rightarrow M{M'} \bot AB.\)

Vì D là trung điểm của AB (gt) và D là trung điểm của \(M{M'}\) nên tứ giác \(AMB{M'}\) là hình bình hành. Mặt khác \(M{M'} \bot AB\) nên \(AMB{M'}\) là hình thoi. (Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.)

Do MNPQ là hình thang cân nên MP = NQ. (hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau). (1)

Xét các tam giác MNQ ; PQN, MNP, QMP ta có:

\(AD = \frac{1}{2}QN\); \(BC = \frac{1}{2}QN,AB = \frac{1}{2}MP,DC = \frac{1}{2}MP\)

Suy ra AB = BC = CD = DA.

Do đó ABCD là hình thoi. (Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.)

Vì hình thoi ABCD có chu vi bằng 24cm nên cạnh hình thoi có độ dài là 24 : 4 = 6cm.

Suy ra AD = 6cm. Xét tam giác AHD vuông tại H có.

\(AH = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \widehat {ADH} = {30^0}\) ( theo tính chất).

Suy ra \(\widehat {DAB} = {180^0} - \widehat {ADC} = {180^0} - {30^0} = {150^0}\).(Vì ABCD là hình thoi )

Nên hình thoi ABCD có:

\(\widehat A = \widehat C = {150^o}\); \(\widehat B = \widehat D = {30^o}\) (Vì hai góc đối bằng nhau).

Lại có tia CA là tia phân giác \(\widehat {DCB}\) (tính chất hình thoi).

Nên \(\widehat {DCA} = \frac{1}{2}\widehat {DCB} = \frac{1}{2}{.150^0} = {75^0}\)

Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến cạnh CD. Từ giả thiết ta có: \(AH \bot CD\), CH = HD suy ra AH là đường trung trực của đoạn CD nên AC = AD (1)

Do ABCD là hình thoi nên AD = CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = CD = AC nên \(\Delta ACD\)là tam giác đều, do đó\(\widehat D = {60^0}\). 

Vì AB // CD nên \(\widehat {DAB} + \widehat D = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)

\( \Rightarrow \widehat {DAB} = {180^0} - \widehat D = {180^0} - {60^0} = {120^0}\).

Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ABCD ta được: \(\widehat B = \widehat D = {60^0},\widehat A = \widehat C = {120^0}\)

Theo tính chất hình bình hành ta có: I là trung điểm của AC và BD.

Suy ra:

\(\begin{array}{l}AI = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.6 = 3cm\\DI = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = \frac{1}{2}.8 = 4cm\end{array}\)

Xét tam giác AID có: \(A{I^2} + I{{\rm{D}}^2} = A{{\rm{D}}^2}\left( {{3^2} + {4^2} = {5^2}} \right)\)

Suy ra: tam giác AID là tam giác vuông: AI ⊥ DI hay AC ⊥ BD

Hình bình hành ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Suy ra: AB = BC = CD = DA = 5cm

Hai đường chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì \(AC \bot BD\) (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:

\(AB = AD;\widehat B = \widehat D;BE = DF\)

Từ đó suy ra \(\Delta ABE = \Delta ADF\)(c-g-c).

Suy ra \(\widehat {A{}_1} = \widehat {{A_4}}\)( hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của \(\widehat {BAD} \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {{A_3}}\)(1)

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra HO = OG (2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD và AD //CB, AD = BC

Xét tứ giác EDFB có ED // FB, \(ED = FB\left( { = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC} \right)\).

Nên EDFB là hình bình hành.

Suy ra: BE = DF, BE // DF.

Xét \(\Delta ABD\)có P là giao điểm hai đường trung tuyến BE, AO nên P là trọng tâm

\(\Delta ABD \Rightarrow EP = \frac{1}{3}BE\).

Xét \(\Delta CBD\)có Q là giao điểm hai đường trung tuyến DF, CO nên Q là trọng tâm

\(\Delta CBD \Rightarrow QF = \frac{1}{3}DF\).

Mà BE = DF (cmt) \( \Rightarrow \)EP = QF.

Xét tứ giác EPFQ có \( \Rightarrow \)EP = QF, EP // QF \( \Rightarrow \)EPFQ là hình bình hành.

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì \({\rm{EF}} \bot PQ\).

Mà EF // CD (do hình bình hành ABCD có AB //CD, E là trung điểm AD, F là trung điểm BC ).

Nên \(CD \bot PQ\) hay \(CD \bot AC \Rightarrow \widehat {ACD} = {90^0}\).

Câu A, C, D đúng theo dấu hiệu nhận biết hình thoi.

Câu B sai vì 2 đường chéo không cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành

+ Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ngoài ra còn có

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau.

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo, hai trục đối xứng là hai đường chéo của hình thoi.

Hình 1 là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau.

Hình 2 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

Hình 3 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

Vì theo dấu hiệu nhận biết hình thoi

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc bằng nhau nhưng bốn cạnh không bằng nhau nên không là hình thoi.

Chu vi hình thoi bằng cạnh nhân 4.

Vậy cạnh hình thoi là 32 : 4 = 8 cm.

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi (đúng theo định nghĩa hình thoi)

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC = 10cm, BD = 24cm.

Do ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\)

\(\begin{array}{l}AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.10 = 5cm\\HB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}.24 = 12cm\end{array}\)

Xét tam giác AH vuông tại H ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {5^2} + {12^2} = 25 + 144 = 169.\)

Suy ra AB= 13 cm.

Vì hình thoi ABCD có chu vi bằng 16 cm nên cạnh hình thoi có độ dài là 16 : 4 = 4 cm.

Suy ra AD = 4 cm. Xét tam giác AHD vuông tại H có AH = 2cm, AD = 4cm nên

\(AH = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \widehat {ADH} = {30^0}\) (theo tính chất).

Suy ra \(\widehat {DAB} = {180^0} - \widehat {ADC} = {180^0} - {30^0} = {150^0}.\) (Vì ABCD là hình thoi )

Nên hình thoi ABCD có:

\(\widehat A = \widehat C = {150^0};\widehat B = \widehat D = {30^0}\) (Vì hai góc đối bằng nhau).

MK = KN = NI = IM suy ra tứ giác KMIN là hình thoi.

Xét các tam giác BCD, CAB, ADC, DBA ta có:

\(MK = \frac{1}{2}CD;IM = \frac{1}{2}AB;NI = \frac{1}{2}CD;KN = \frac{1}{2}AB\)

Mà AB = CD (giả thiết) .

Suy ra MK = KN = NI = IM.

Tứ giác KMIN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Định lí:

+ Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo của hình thoi.

+ Có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Mở rộng:

+ Trong hình chữ nhật, các trung điểm của các cạnh hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

+ Trong hình thoi, các trung điểm của bốn cạnh hình thoi là các hình chữ nhật.

→ Đáp án D sai.

\(\left( {8.10} \right):2 = 40c{m^2}\)

Độ dài đường chéo còn lại là:

\(\frac{5}{3}.2:\frac{{25}}{2} = \frac{4}{{15}}(dm)\)

Do ABCD là hình thoi nên: \(AO = OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{{2}}.16 = 8cm\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABO ta có:

\(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100 \Rightarrow AB = 10cm\)

Vì ABCD là hình thoi nên AB = CD = 10cm

Chứng minh tứ giác \(AMBM'\) là hình bình hành có \(M{M'} \bot AB\)nên \(AMBM'\) là hình thoi

Vì \({M'}\) đối xứng M qua D nên \(DM = D{M'}\)(1)

Ta có: MD // AC

Mặt khác \(\Delta ABC\) vuông ở A nên \(AB \bot AC\).(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DM \bot AB \Rightarrow M{M'} \bot AB.\)

Vì D là trung điểm của AB (gt) và D là trung điểm của \(M{M'}\) nên tứ giác \(AMB{M'}\) là hình bình hành. Mặt khác \(M{M'} \bot AB\) nên \(AMB{M'}\) là hình thoi. (Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.)

Do MNPQ là hình thang cân nên MP = NQ. (hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau). (1)

Xét các tam giác MNQ ; PQN, MNP, QMP ta có:

\(AD = \frac{1}{2}QN\); \(BC = \frac{1}{2}QN,AB = \frac{1}{2}MP,DC = \frac{1}{2}MP\)

Suy ra AB = BC = CD = DA.

Do đó ABCD là hình thoi. (Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.)

Vì hình thoi ABCD có chu vi bằng 24cm nên cạnh hình thoi có độ dài là 24 : 4 = 6cm.

Suy ra AD = 6cm. Xét tam giác AHD vuông tại H có.

\(AH = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \widehat {ADH} = {30^0}\) ( theo tính chất).

Suy ra \(\widehat {DAB} = {180^0} - \widehat {ADC} = {180^0} - {30^0} = {150^0}\).(Vì ABCD là hình thoi )

Nên hình thoi ABCD có:

\(\widehat A = \widehat C = {150^o}\); \(\widehat B = \widehat D = {30^o}\) (Vì hai góc đối bằng nhau).

Lại có tia CA là tia phân giác \(\widehat {DCB}\) (tính chất hình thoi).

Nên \(\widehat {DCA} = \frac{1}{2}\widehat {DCB} = \frac{1}{2}{.150^0} = {75^0}\)

Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến cạnh CD. Từ giả thiết ta có: \(AH \bot CD\), CH = HD suy ra AH là đường trung trực của đoạn CD nên AC = AD (1)

Do ABCD là hình thoi nên AD = CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = CD = AC nên \(\Delta ACD\)là tam giác đều, do đó\(\widehat D = {60^0}\). 

Vì AB // CD nên \(\widehat {DAB} + \widehat D = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)

\( \Rightarrow \widehat {DAB} = {180^0} - \widehat D = {180^0} - {60^0} = {120^0}\).

Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ABCD ta được: \(\widehat B = \widehat D = {60^0},\widehat A = \widehat C = {120^0}\)

Theo tính chất hình bình hành ta có: I là trung điểm của AC và BD.

Suy ra:

\(\begin{array}{l}AI = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.6 = 3cm\\DI = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = \frac{1}{2}.8 = 4cm\end{array}\)

Xét tam giác AID có: \(A{I^2} + I{{\rm{D}}^2} = A{{\rm{D}}^2}\left( {{3^2} + {4^2} = {5^2}} \right)\)

Suy ra: tam giác AID là tam giác vuông: AI ⊥ DI hay AC ⊥ BD

Hình bình hành ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Suy ra: AB = BC = CD = DA = 5cm

Hai đường chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì \(AC \bot BD\) (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:

\(AB = AD;\widehat B = \widehat D;BE = DF\)

Từ đó suy ra \(\Delta ABE = \Delta ADF\)(c-g-c).

Suy ra \(\widehat {A{}_1} = \widehat {{A_4}}\)( hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của \(\widehat {BAD} \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {{A_3}}\)(1)

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra HO = OG (2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD và AD //CB, AD = BC

Xét tứ giác EDFB có ED // FB, \(ED = FB\left( { = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC} \right)\).

Nên EDFB là hình bình hành.

Suy ra: BE = DF, BE // DF.

Xét \(\Delta ABD\)có P là giao điểm hai đường trung tuyến BE, AO nên P là trọng tâm

\(\Delta ABD \Rightarrow EP = \frac{1}{3}BE\).

Xét \(\Delta CBD\)có Q là giao điểm hai đường trung tuyến DF, CO nên Q là trọng tâm

\(\Delta CBD \Rightarrow QF = \frac{1}{3}DF\).

Mà BE = DF (cmt) \( \Rightarrow \)EP = QF.

Xét tứ giác EPFQ có \( \Rightarrow \)EP = QF, EP // QF \( \Rightarrow \)EPFQ là hình bình hành.

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì \({\rm{EF}} \bot PQ\).

Mà EF // CD (do hình bình hành ABCD có AB //CD, E là trung điểm AD, F là trung điểm BC ).

Nên \(CD \bot PQ\) hay \(CD \bot AC \Rightarrow \widehat {ACD} = {90^0}\).