Trắc nghiệm Bài 38: Hình chóp tam giác đều Toán 8 Kết nối tri thức

Sử dụng định nghĩa hình chóp tam giác đều: Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

Theo định nghĩa hình chóp tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân nên chọn đáp án B

Sử dụng định nghĩa đường cao của hình chóp tam giác đều: Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác đáy gọi là đường cao của hình chóp tam giác đều

Theo định nghĩa đường cao của hình chóp tam giác đều thì đường cao là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh tới trọng tâm của mặt đáy nên chọn đáp án B

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn nên chọn đáp án C

Sử dụng công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều.

Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng \(\frac{1}{3}\) tích của diện tích đáy với chiều cao của nó nên chọn đáp án D

Sử dụng định nghĩa trung đoạn của hình chóp tam giác đều: Đường cao kẻ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tam giác đều

Theo định nghĩa trung đoạn của hình chóp tam giác đều thì chọn đáp án A

Sử dụng công thức thể tích của hình chóp tam giác đều: \(V = \frac{1}{3}.S.h\)

Theo công thức thể tích của hình chóp tam giác đều: \(V = \frac{1}{3}.S.h = \frac{1}{3}.6.8 = 16c{m^3}\)

Dựa vào công thức tính thể tích khối chóp

Nếu cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng 4 lần. Vì chiều cao giảm đi 4 lần nên thể tích khối chóp không thay đổi.

Ví dụ: Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a, chiều cao là h.

Vì tam giác ABC đều nên chiều cao của tam giác ABC là:

\(\sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt3}{2}\)

Suy ra \(V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.h.\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3a^2h}{12}\)

Sau khi tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần ta được hình chóp mới S.A'B'C'

Cạnh đáy tăng lên 2 lần thì đáy mới là a' = 2a, khi đó chiều cao của tam giác A'B'C' là:

\(\sqrt{(2a)^2 - \left(\frac{2a}{2}\right)^2} = a\sqrt3\)

Vì chiều cao h giảm đi 4 lần nên chiều cao mới là \(h' = \frac{h}{4}\)

\(V_{S.A'B'C'} = \frac{1}{3}.h'.S_{A'B'C'}\)

\(= \frac{1}{3}.\frac{h}{4}.\frac{1}{2}.(2a).a\sqrt3\)

\(= \frac{\sqrt3a^2h}{12}\)

Vậy nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể tích của khối chóp sẽ không thay đổi

Dựa vào đặc điểm của hình chóp tam giác đều.

Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, các mặt là các tam giác đều nên diện tích các mặt bằng nhau và cùng bằng\(10c{m^2}\). Vậy diện tích xung quanh của hình chóp S.ABC là \(3.10 = 30c{m^2}\)

Dựa vào công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp.

Nửa chu vi đáy của hình chóp: \(p = \frac{{4 + 4 + 4}}{2} = 6cm\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp S.ABC là \({S_{xq}} = p.d = 6.5 = 30c{m^2}\).

Dựa vào công thức tính thể tích của hình chóp đều.

\(V = \frac{1}{3}.S.h \Rightarrow S = \frac{{3V}}{h}\)

Quan sát hình chóp tam giác đều đếm số mặt.

Hình chóp tam giác đều có 4 mặt nên chọn đáp án B

Sử dụng định nghĩa trung đoạn của hình chóp tam giác đều: Đường cao kẻ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tam giác đều

Theo định nghĩa trung đoạn của hình chóp tam giác đều thì trung đoạn của hình chóp S.ABC là đoạn SH nên chọn đáp án A

Sử dụng kiến thức đáy của hình chóp tam giác đều là tam giác đều.

Vì đáy của hình chóp tam giác đều là tam giác đều, mà mỗi góc của tam giác đều có số đo bằng \({60^0}\) nên chọn đáp án C

Sử dụng kiến thức về các cạnh của hình chóp tam giác đều: Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

Hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều nên \(AC = BC = AB = 3cm\)

Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh nên \(SB = SC = SA = 4cm\).

nên chọn đáp án B đúng

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều: \({S_{xq}} = p.d\)

Theo công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều:

\({S_{xq}} = p.d = 12.4 = 48c{m^2}\)

B1: Tính cạnh của hình vuông từ đó suy ra chiều cao h của hình chóp.

B2. Áp dụng công thức thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}.S.h\)

Vì \(\frac{9}{4} = \frac{3}{2}.\frac{3}{2}\) nên cạnh của hình vuông bằng \(\frac{3}{2}cm\)

Chiều cao hình chóp có số đo bằng số đo cạnh của hình vuông có diện tích \(\frac{9}{4}c{m^2}\)nên \(h = \frac{3}{2}cm\).

Áp dụng công thức thể tích khối chóp ta được: \(V = \frac{1}{3}.S.h = \frac{1}{3}.5.\frac{3}{2} = \frac{5}{2}(c{m^3})\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, chu vi tam giác để tính.

B1: Tính độ dài cạnh đáy dựa vào chu vi.

B2: Tính chiều cao hình chóp dựa vào điều kiện đề bài.

B3: Tính diện tích mặt đáy.

B4: Tính thể tích hình chóp theo công thức.

Tam giác ABC đều nên \(AB = BC = CA\)

Vì chu vi tam giác ABC bằng 9cm nên

\(AB + BC + CA = 9\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3.BC = 9\\ \Rightarrow BC = 3(cm)\end{array}\)

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC.

Khi đó SH là chiều cao của hình chóp \( \Rightarrow SH = \frac{3}{2}.BC = \frac{3}{2}.3 = \frac{9}{2}(cm)\)

AM là trung tuyến của tam giác đều ABC nên AM đồng thời là đường cao của đáy\( \Rightarrow AM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}(cm)\)

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AM = \frac{1}{2}.3.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}(c{m^2})\)

\({V_{ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{9\sqrt 3 }}{4}.\frac{9}{2} = \frac{{27\sqrt 3 }}{8}(c{m^3})\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, tính chất đường trung tuyến của tam giác.

B1: Tính chiều cao của cạnh đáy.

B2: Tính diện tích đáy tam giác.

B3: Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp đều để tính.

Gọi x là độ dài một cạnh của hình chóp.

H là trọng tâm tam giác đều ABC, áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác ta được:

\(AH = \frac{2}{3}.AM \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}:\frac{2}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác ABC đều nên diện tích đáy bằng: \(S = \frac{1}{2}.BC.AH = \frac{1}{2}.a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(V = \frac{1}{3}.S.h = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, định lý Pythagore và diện tích tam giác đều để tính.

\(AI = IB = \frac{{AB}}{2} = 2cm\)

\(SH = HC = \frac{{SC}}{2} = \frac{4}{2} = 2cm\)

Tam giác ABC dều cạnh a nên CI là trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABC .

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông CIA có

\(\begin{array}{l}C{I^2} + I{A^2} = A{C^2}\\ = > C{I^2} = A{C^2} - I{A^2}\\ = > C{I^2} = {4^2} - {2^2}\\ = > CI = 2\sqrt 3 cm\end{array}\)

Tương tự áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông SIB ta được: \(SI = 2\sqrt 3 cm\)

Xét tam giác SIC có: \(SI = IC = 2\sqrt 3 cm\)

\( \Rightarrow \)Tam giác SIC cân tại I

\( \Rightarrow \) IH vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SIC cân.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông SIH có

\(\begin{array}{l}C{I^2} = I{H^2} + C{H^2}\\ = > I{H^2} = C{I^2} - C{H^2}\\ = > I{H^2} = {(2\sqrt 3 )^2} - {2^2}\\ = > IH = 2\sqrt 2 cm\end{array}\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, định lý Pythagore và diện tích tam giác đều để tính.

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC đều.

Khi đó SO là chiều cao của hình chóp SABC đồng thời là chiều cao của hình chóp S.ABI

\(AO = \frac{2}{3}.AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} - {{(\frac{{a\sqrt 3 }}{3})}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\)

Tam giác ABC đều cạnh a nên diện tích tam giác bằng: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\({V_{ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt {33} }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\)

\(\frac{{{V_{ABI}}}}{{{V_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{3}.{S_{ABI}}.SO}}{{\frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO}} = \frac{{{S_{ABI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.AI.BI}}{{\frac{1}{2}.AI.BA}} = \frac{{BI}}{{BA}} = \frac{1}{2} = > {V_{ABI}} = \frac{1}{2}{V_{ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Dựa vào khái niệm hình chóp tam giác đều, đường cao, trung đoạn, công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp đều.

Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh nên câu A sai

Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác đáy gọi là đường cao của hình chóp tam giác đều nên câu B đúng

Đường cao kẻ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tam giác đều nên câu C đúng

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn nên câu D đúng

B1: Tính diện tích đáy.

B2: Gọi x là độ dài cạnh đáy , tính chiều cao mặt đáy theo x.

B3: Tìm x.

Diện tích đáy của hình chóp là : \(8\sqrt 3 .3:6 = 4\sqrt 3 c{m^2}\)

Gọi x là độ dài cạnh đáy, vì đáy hình chóp tam giác đều là một tam giác đều nên chiều cao của hình chóp là \(\frac{{x\sqrt 3 }}{2}\)

Khi đó diện tích đáy tính theo x là \(\frac{1}{2}.x.\frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \Rightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4cm\)

B1: Tính chu vi đáy dựa vào công thức tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng đáy là tam giác đều: \({S_{xq}} = C.h\)

B2: Tính chiều cao hình lăng trụ đứng, từ đó suy ra chiều cao hình chóp tam giác đều.

B3: Tính thể tích hình chóp đều theo công thức.

Chu vi đáy ABC là: \(C = 4 + 4 + 4 = 12(cm)\)

Chiều cao hình lăng trụ đứng là: \(h = {S_{xq}}:C = 36:12 = 3(cm)\)

Từ hình vẽ ta thấy chiều cao hình chóp tam giác đều bằng chiều cao hình lăng trụ đứng đáy là tam giác đều nên chiều cao hình chóp bằng 3cm.

Diện tích mặt đáy bằng: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.4.2\sqrt 3 = 4\sqrt 3 (c{m^2})\)

Áp dụng công thức thể tích khối chóp ta được: \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.h = \frac{1}{3}.4\sqrt 3 .3 = 4\sqrt 3 c{m^3}\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, định lý Pythagore và công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp đều.

Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên mặt bên SAB là tam giác cân tại S => SH là đường cao đồng thời là trung tuyến của tam giác SAB \( \Rightarrow AH = HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6cm\)

Xét tam giác vuông SHA có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - H{A^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8cm\)

Nửa chu vi đáy của hình chóp: \(p = \frac{{12 + 12 + 12}}{2} = 18cm\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp S.ABC là \({S_{xq}} = p.d = 18.6 = 108c{m^2}\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, độ dài trung đoạn để tính.

Hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng nhau \( \Rightarrow SA = SB = SC = AB = AC = BC\).

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC đều , M là trung điểm BC.

Theo định nghĩa trung đoạn, SM là trung đoạn của hình chóp.

Đáy ABC là tam giác đều \( \Rightarrow \)AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao\( \Rightarrow AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMB} = {90^0} \Rightarrow \Delta AMB\)vuông tại M.

\(AM = 3\sqrt 3 cm\)

Ta có: \(SA = SB = SC \Rightarrow \Delta SAB\) đều\( \Rightarrow \) SM vừa là trung tuyến vừa là đường cao.\( \Rightarrow SM \bot BC \Rightarrow \widehat {SMB} = {90^0} \Rightarrow \Delta SMB\) vuông tại M

Xét tam giác vuông SMB và tam giác vuông AMB có:

MB chung

SB = AB

\( \Rightarrow \Delta SMB = \Delta AMB\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow SM = AM = 3\sqrt 3 (cm)\)

Vậy độ dài trung đoạn SM bằng \(3\sqrt 3 cm\)

Sử dụng định nghĩa hình chóp tam giác đều: Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

Theo định nghĩa hình chóp tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân nên chọn đáp án B

Sử dụng định nghĩa đường cao của hình chóp tam giác đều: Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác đáy gọi là đường cao của hình chóp tam giác đều

Theo định nghĩa đường cao của hình chóp tam giác đều thì đường cao là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh tới trọng tâm của mặt đáy nên chọn đáp án B

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn nên chọn đáp án C

Sử dụng công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều.

Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng \(\frac{1}{3}\) tích của diện tích đáy với chiều cao của nó nên chọn đáp án D

Sử dụng định nghĩa trung đoạn của hình chóp tam giác đều: Đường cao kẻ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tam giác đều

Theo định nghĩa trung đoạn của hình chóp tam giác đều thì chọn đáp án A

Sử dụng công thức thể tích của hình chóp tam giác đều: \(V = \frac{1}{3}.S.h\)

Theo công thức thể tích của hình chóp tam giác đều: \(V = \frac{1}{3}.S.h = \frac{1}{3}.6.8 = 16c{m^3}\)

Dựa vào công thức tính thể tích khối chóp

Nếu cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng 4 lần. Vì chiều cao giảm đi 4 lần nên thể tích khối chóp không thay đổi.

Ví dụ: Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a, chiều cao là h.

Vì tam giác ABC đều nên chiều cao của tam giác ABC là:

\(\sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt3}{2}\)

Suy ra \(V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.h.\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3a^2h}{12}\)

Sau khi tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần ta được hình chóp mới S.A'B'C'

Cạnh đáy tăng lên 2 lần thì đáy mới là a' = 2a, khi đó chiều cao của tam giác A'B'C' là:

\(\sqrt{(2a)^2 - \left(\frac{2a}{2}\right)^2} = a\sqrt3\)

Vì chiều cao h giảm đi 4 lần nên chiều cao mới là \(h' = \frac{h}{4}\)

\(V_{S.A'B'C'} = \frac{1}{3}.h'.S_{A'B'C'}\)

\(= \frac{1}{3}.\frac{h}{4}.\frac{1}{2}.(2a).a\sqrt3\)

\(= \frac{\sqrt3a^2h}{12}\)

Vậy nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể tích của khối chóp sẽ không thay đổi

Dựa vào đặc điểm của hình chóp tam giác đều.

Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, các mặt là các tam giác đều nên diện tích các mặt bằng nhau và cùng bằng\(10c{m^2}\). Vậy diện tích xung quanh của hình chóp S.ABC là \(3.10 = 30c{m^2}\)

Dựa vào công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp.

Nửa chu vi đáy của hình chóp: \(p = \frac{{4 + 4 + 4}}{2} = 6cm\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp S.ABC là \({S_{xq}} = p.d = 6.5 = 30c{m^2}\).

Dựa vào công thức tính thể tích của hình chóp đều.

\(V = \frac{1}{3}.S.h \Rightarrow S = \frac{{3V}}{h}\)

Quan sát hình chóp tam giác đều đếm số mặt.

Hình chóp tam giác đều có 4 mặt nên chọn đáp án B

Sử dụng định nghĩa trung đoạn của hình chóp tam giác đều: Đường cao kẻ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tam giác đều

Theo định nghĩa trung đoạn của hình chóp tam giác đều thì trung đoạn của hình chóp S.ABC là đoạn SH nên chọn đáp án A

Sử dụng kiến thức đáy của hình chóp tam giác đều là tam giác đều.

Vì đáy của hình chóp tam giác đều là tam giác đều, mà mỗi góc của tam giác đều có số đo bằng \({60^0}\) nên chọn đáp án C

Sử dụng kiến thức về các cạnh của hình chóp tam giác đều: Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

Hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều nên \(AC = BC = AB = 3cm\)

Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh nên \(SB = SC = SA = 4cm\).

nên chọn đáp án B đúng

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều: \({S_{xq}} = p.d\)

Theo công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều:

\({S_{xq}} = p.d = 12.4 = 48c{m^2}\)

B1: Tính cạnh của hình vuông từ đó suy ra chiều cao h của hình chóp.

B2. Áp dụng công thức thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}.S.h\)

Vì \(\frac{9}{4} = \frac{3}{2}.\frac{3}{2}\) nên cạnh của hình vuông bằng \(\frac{3}{2}cm\)

Chiều cao hình chóp có số đo bằng số đo cạnh của hình vuông có diện tích \(\frac{9}{4}c{m^2}\)nên \(h = \frac{3}{2}cm\).

Áp dụng công thức thể tích khối chóp ta được: \(V = \frac{1}{3}.S.h = \frac{1}{3}.5.\frac{3}{2} = \frac{5}{2}(c{m^3})\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, chu vi tam giác để tính.

B1: Tính độ dài cạnh đáy dựa vào chu vi.

B2: Tính chiều cao hình chóp dựa vào điều kiện đề bài.

B3: Tính diện tích mặt đáy.

B4: Tính thể tích hình chóp theo công thức.

Tam giác ABC đều nên \(AB = BC = CA\)

Vì chu vi tam giác ABC bằng 9cm nên

\(AB + BC + CA = 9\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3.BC = 9\\ \Rightarrow BC = 3(cm)\end{array}\)

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC.

Khi đó SH là chiều cao của hình chóp \( \Rightarrow SH = \frac{3}{2}.BC = \frac{3}{2}.3 = \frac{9}{2}(cm)\)

AM là trung tuyến của tam giác đều ABC nên AM đồng thời là đường cao của đáy\( \Rightarrow AM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}(cm)\)

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AM = \frac{1}{2}.3.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}(c{m^2})\)

\({V_{ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{9\sqrt 3 }}{4}.\frac{9}{2} = \frac{{27\sqrt 3 }}{8}(c{m^3})\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, tính chất đường trung tuyến của tam giác.

B1: Tính chiều cao của cạnh đáy.

B2: Tính diện tích đáy tam giác.

B3: Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp đều để tính.

Gọi x là độ dài một cạnh của hình chóp.

H là trọng tâm tam giác đều ABC, áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác ta được:

\(AH = \frac{2}{3}.AM \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}:\frac{2}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác ABC đều nên diện tích đáy bằng: \(S = \frac{1}{2}.BC.AH = \frac{1}{2}.a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(V = \frac{1}{3}.S.h = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, định lý Pythagore và diện tích tam giác đều để tính.

\(AI = IB = \frac{{AB}}{2} = 2cm\)

\(SH = HC = \frac{{SC}}{2} = \frac{4}{2} = 2cm\)

Tam giác ABC dều cạnh a nên CI là trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABC .

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông CIA có

\(\begin{array}{l}C{I^2} + I{A^2} = A{C^2}\\ = > C{I^2} = A{C^2} - I{A^2}\\ = > C{I^2} = {4^2} - {2^2}\\ = > CI = 2\sqrt 3 cm\end{array}\)

Tương tự áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông SIB ta được: \(SI = 2\sqrt 3 cm\)

Xét tam giác SIC có: \(SI = IC = 2\sqrt 3 cm\)

\( \Rightarrow \)Tam giác SIC cân tại I

\( \Rightarrow \) IH vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SIC cân.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông SIH có

\(\begin{array}{l}C{I^2} = I{H^2} + C{H^2}\\ = > I{H^2} = C{I^2} - C{H^2}\\ = > I{H^2} = {(2\sqrt 3 )^2} - {2^2}\\ = > IH = 2\sqrt 2 cm\end{array}\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, định lý Pythagore và diện tích tam giác đều để tính.

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC đều.

Khi đó SO là chiều cao của hình chóp SABC đồng thời là chiều cao của hình chóp S.ABI

\(AO = \frac{2}{3}.AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} - {{(\frac{{a\sqrt 3 }}{3})}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\)

Tam giác ABC đều cạnh a nên diện tích tam giác bằng: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\({V_{ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt {33} }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\)

\(\frac{{{V_{ABI}}}}{{{V_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{3}.{S_{ABI}}.SO}}{{\frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO}} = \frac{{{S_{ABI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.AI.BI}}{{\frac{1}{2}.AI.BA}} = \frac{{BI}}{{BA}} = \frac{1}{2} = > {V_{ABI}} = \frac{1}{2}{V_{ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Dựa vào khái niệm hình chóp tam giác đều, đường cao, trung đoạn, công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp đều.

Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh nên câu A sai

Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác đáy gọi là đường cao của hình chóp tam giác đều nên câu B đúng

Đường cao kẻ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tam giác đều nên câu C đúng

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn nên câu D đúng

B1: Tính diện tích đáy.

B2: Gọi x là độ dài cạnh đáy , tính chiều cao mặt đáy theo x.

B3: Tìm x.

Diện tích đáy của hình chóp là : \(8\sqrt 3 .3:6 = 4\sqrt 3 c{m^2}\)

Gọi x là độ dài cạnh đáy, vì đáy hình chóp tam giác đều là một tam giác đều nên chiều cao của hình chóp là \(\frac{{x\sqrt 3 }}{2}\)

Khi đó diện tích đáy tính theo x là \(\frac{1}{2}.x.\frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \Rightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4cm\)

B1: Tính chu vi đáy dựa vào công thức tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng đáy là tam giác đều: \({S_{xq}} = C.h\)

B2: Tính chiều cao hình lăng trụ đứng, từ đó suy ra chiều cao hình chóp tam giác đều.

B3: Tính thể tích hình chóp đều theo công thức.

Chu vi đáy ABC là: \(C = 4 + 4 + 4 = 12(cm)\)

Chiều cao hình lăng trụ đứng là: \(h = {S_{xq}}:C = 36:12 = 3(cm)\)

Từ hình vẽ ta thấy chiều cao hình chóp tam giác đều bằng chiều cao hình lăng trụ đứng đáy là tam giác đều nên chiều cao hình chóp bằng 3cm.

Diện tích mặt đáy bằng: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.4.2\sqrt 3 = 4\sqrt 3 (c{m^2})\)

Áp dụng công thức thể tích khối chóp ta được: \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.h = \frac{1}{3}.4\sqrt 3 .3 = 4\sqrt 3 c{m^3}\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, định lý Pythagore và công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp đều.

Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên mặt bên SAB là tam giác cân tại S => SH là đường cao đồng thời là trung tuyến của tam giác SAB \( \Rightarrow AH = HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6cm\)

Xét tam giác vuông SHA có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - H{A^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8cm\)

Nửa chu vi đáy của hình chóp: \(p = \frac{{12 + 12 + 12}}{2} = 18cm\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp S.ABC là \({S_{xq}} = p.d = 18.6 = 108c{m^2}\)

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, độ dài trung đoạn để tính.

Hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng nhau \( \Rightarrow SA = SB = SC = AB = AC = BC\).

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC đều , M là trung điểm BC.

Theo định nghĩa trung đoạn, SM là trung đoạn của hình chóp.

Đáy ABC là tam giác đều \( \Rightarrow \)AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao\( \Rightarrow AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMB} = {90^0} \Rightarrow \Delta AMB\)vuông tại M.

\(AM = 3\sqrt 3 cm\)

Ta có: \(SA = SB = SC \Rightarrow \Delta SAB\) đều\( \Rightarrow \) SM vừa là trung tuyến vừa là đường cao.\( \Rightarrow SM \bot BC \Rightarrow \widehat {SMB} = {90^0} \Rightarrow \Delta SMB\) vuông tại M

Xét tam giác vuông SMB và tam giác vuông AMB có:

MB chung

SB = AB

\( \Rightarrow \Delta SMB = \Delta AMB\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow SM = AM = 3\sqrt 3 (cm)\)

Vậy độ dài trung đoạn SM bằng \(3\sqrt 3 cm\)